Theorem lflsub 34354

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 28902 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsub.d	|- D = (Scalar ` W )
lflsub.m	|- M = ( -g ` D )
lflsub.v	|- V = ( Base ` W )
lflsub.a	|- .- = ( -g ` W )
lflsub.f	|- F = (LFnl ` W )

Assertion

Ref	Expression
lflsub	|- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` ( X .- Y ) ) = ( ( G ` X ) M ( G ` Y ) ) )

Proof of Theorem lflsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> W e. LMod )
2		simp3l 1089	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> X e. V )
3		lflsub.d	. . . . . . . . . 10 |- D = (Scalar ` W )
4	3	lmodring 18871	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> D e. Ring )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> D e. Ring )
6		ringgrp 18552	. . . . . . . 8 |- ( D e. Ring -> D e. Grp )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> D e. Grp )
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` D ) = ( 1r ` D )
10	8, 9	ringidcl 18568	. . . . . . . 8 |- ( D e. Ring -> ( 1r ` D ) e. ( Base ` D ) )
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( 1r ` D ) e. ( Base ` D ) )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` D ) = ( invg ` D )
13	8, 12	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( D e. Grp /\ ( 1r ` D ) e. ( Base ` D ) ) -> ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) e. ( Base ` D ) )
14	7, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) e. ( Base ` D ) )
15		simp3r 1090	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> Y e. V )
16		lflsub.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
18	16, 3, 17, 8	lmodvscl 18880	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) e. ( Base ` D ) /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) e. V )
19	1, 14, 15, 18	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) e. V )
20		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
21	16, 20	lmodcom 18909	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) e. V ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
22	1, 2, 19, 21	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
23	22	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ) ) = ( G ` ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ) )
24		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> G e. F )
25		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` D ) = ( +g ` D )
26		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` D ) = ( .r ` D )
27		lflsub.f	. . . . 5 |- F = (LFnl ` W )
28	16, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27	lfli 34348	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) e. ( Base ` D ) /\ Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( G ` ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ) = ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .r ` D ) ( G ` Y ) ) ( +g ` D ) ( G ` X ) ) )
29	1, 24, 14, 15, 2, 28	syl113anc 1338	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ) = ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .r ` D ) ( G ` Y ) ) ( +g ` D ) ( G ` X ) ) )
30	3, 8, 16, 27	lflcl 34351	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ Y e. V ) -> ( G ` Y ) e. ( Base ` D ) )
31	30	3adant3l 1322	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` Y ) e. ( Base ` D ) )
32	8, 26, 9, 12, 5, 31	ringnegl 18594	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .r ` D ) ( G ` Y ) ) = ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) )
33	32	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .r ` D ) ( G ` Y ) ) ( +g ` D ) ( G ` X ) ) = ( ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ( +g ` D ) ( G ` X ) ) )
34		ringabl 18580	. . . . . 6 |- ( D e. Ring -> D e. Abel )
35	5, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> D e. Abel )
36	8, 12	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( D e. Grp /\ ( G ` Y ) e. ( Base ` D ) ) -> ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) e. ( Base ` D ) )
37	7, 31, 36	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) e. ( Base ` D ) )
38	3, 8, 16, 27	lflcl 34351	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ X e. V ) -> ( G ` X ) e. ( Base ` D ) )
39	38	3adant3r 1323	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` X ) e. ( Base ` D ) )
40	8, 25	ablcom 18210	. . . . 5 |- ( ( D e. Abel /\ ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) e. ( Base ` D ) /\ ( G ` X ) e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ( +g ` D ) ( G ` X ) ) = ( ( G ` X ) ( +g ` D ) ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ) )
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ( +g ` D ) ( G ` X ) ) = ( ( G ` X ) ( +g ` D ) ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ) )
42	33, 41	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .r ` D ) ( G ` Y ) ) ( +g ` D ) ( G ` X ) ) = ( ( G ` X ) ( +g ` D ) ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ) )
43	23, 29, 42	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ) ) = ( ( G ` X ) ( +g ` D ) ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ) )
44		lflsub.a	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
45	16, 20, 44, 3, 17, 12, 9	lmodvsubval2 18918	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
46	1, 2, 15, 45	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
47	46	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` ( X .- Y ) ) = ( G ` ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` D ) ` ( 1r ` D ) ) ( .s ` W ) Y ) ) ) )
48		lflsub.m	. . . 4 |- M = ( -g ` D )
49	8, 25, 12, 48	grpsubval 17465	. . 3 |- ( ( ( G ` X ) e. ( Base ` D ) /\ ( G ` Y ) e. ( Base ` D ) ) -> ( ( G ` X ) M ( G ` Y ) ) = ( ( G ` X ) ( +g ` D ) ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ) )
50	39, 31, 49	syl2anc 693	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( G ` X ) M ( G ` Y ) ) = ( ( G ` X ) ( +g ` D ) ( ( invg ` D ) ` ( G ` Y ) ) ) )
51	43, 47, 50	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( G ` ( X .- Y ) ) = ( ( G ` X ) M ( G ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   Abelcabl 18194   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  LFnlclfn 34344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lfl 34345

This theorem is referenced by:  eqlkr  34386  lkrlsp  34389  lclkrlem2m  36808  hdmaplns1  37200