Theorem tsmssub 21952

Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssub.b	|- B = ( Base ` G )
tsmssub.p	|- .- = ( -g ` G )
tsmssub.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmssub.2	|- ( ph -> G e. TopGrp )
tsmssub.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmssub.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmssub.h	|- ( ph -> H : A --> B )
tsmssub.x	|- ( ph -> X e. ( G tsums F ) )
tsmssub.y	|- ( ph -> Y e. ( G tsums H ) )

Assertion

Ref	Expression
tsmssub	|- ( ph -> ( X .- Y ) e. ( G tsums ( F oF .- H ) ) )

Proof of Theorem tsmssub

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssub.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		tsmssub.1	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		tsmssub.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. TopGrp )
5		tgptmd 21883	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> G e. TopMnd )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> G e. TopMnd )
7		tsmssub.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
8		tsmssub.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
9		tgpgrp 21882	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
11	1, 10	grpinvf 17466	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : B --> B )
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( invg ` G ) : B --> B )
13		tsmssub.h	. . . 4 |- ( ph -> H : A --> B )
14		fco 6058	. . . 4 |- ( ( ( invg ` G ) : B --> B /\ H : A --> B ) -> ( ( invg ` G ) o. H ) : A --> B )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) o. H ) : A --> B )
16		tsmssub.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( G tsums F ) )
17		tsmssub.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( G tsums H ) )
18	1, 10, 3, 4, 7, 13, 17	tsmsinv 21951	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. ( G tsums ( ( invg ` G ) o. H ) ) )
19	1, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18	tsmsadd 21950	. 2 |- ( ph -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. ( G tsums ( F oF ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) o. H ) ) ) )
20		tgptps 21884	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> G e. TopSp )
21	4, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TopSp )
22	1, 3, 21, 7, 8	tsmscl 21938	. . . 4 |- ( ph -> ( G tsums F ) C_ B )
23	22, 16	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
24	1, 3, 21, 7, 13	tsmscl 21938	. . . 4 |- ( ph -> ( G tsums H ) C_ B )
25	24, 17	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
26		tsmssub.p	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
27	1, 2, 10, 26	grpsubval 17465	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
28	23, 25, 27	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
29	8	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. B )
30	13	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( H ` k ) e. B )
31	1, 2, 10, 26	grpsubval 17465	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` k ) e. B /\ ( H ` k ) e. B ) -> ( ( F ` k ) .- ( H ` k ) ) = ( ( F ` k ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( H ` k ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F ` k ) .- ( H ` k ) ) = ( ( F ` k ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( H ` k ) ) ) )
33	32	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( ( F ` k ) .- ( H ` k ) ) ) = ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( H ` k ) ) ) ) )
34	8	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( k e. A |-> ( F ` k ) ) )
35	13	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( k e. A |-> ( H ` k ) ) )
36	7, 29, 30, 34, 35	offval2 6914	. . . 4 |- ( ph -> ( F oF .- H ) = ( k e. A |-> ( ( F ` k ) .- ( H ` k ) ) ) )
37		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( invg ` G ) ` ( H ` k ) ) e. _V )
38	12	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( invg ` G ) = ( x e. B |-> ( ( invg ` G ) ` x ) ) )
39		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = ( H ` k ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = ( ( invg ` G ) ` ( H ` k ) ) )
40	30, 35, 38, 39	fmptco 6396	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) o. H ) = ( k e. A |-> ( ( invg ` G ) ` ( H ` k ) ) ) )
41	7, 29, 37, 34, 40	offval2 6914	. . . 4 |- ( ph -> ( F oF ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) o. H ) ) = ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( H ` k ) ) ) ) )
42	33, 36, 41	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( F oF .- H ) = ( F oF ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) o. H ) ) )
43	42	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G tsums ( F oF .- H ) ) = ( G tsums ( F oF ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) o. H ) ) ) )
44	19, 28, 43	3eltr4d 2716	1 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. ( G tsums ( F oF .- H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424  CMndccmn 18193   TopSpctps 20736  TopMndctmd 21874   TopGrpctgp 21875   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  tgptsmscls  21953