Theorem issubg4 17613

Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	|- B = ( Base ` G )
issubg4.p	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
issubg4	|- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, .- , y   x, S, y

Proof of Theorem issubg4

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgss 17595	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	3	subg0cl 17602	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
5		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> S =/= (/) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S =/= (/) )
7		issubg4.p	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
8	7	subgsubcl 17605	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .- y ) e. S )
9	8	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .- y ) e. S )
10	9	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
11	2, 6, 10	3jca 1242	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) )
12		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> S C_ B )
13		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> S =/= (/) )
14		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
15		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
16	14, 15	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( x .- y ) = ( x .- x ) )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( x .- x ) e. S ) )
19	18	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. S -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- x ) e. S ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- x ) e. S ) )
21		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ B )
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. B )
23	1, 3, 7	grpsubid 17499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
24	23	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. B ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
25	22, 24	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x .- x ) e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
27	20, 26	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S ) )
28	27	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) -> ( E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S ) )
29	28	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
30	16, 29	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x .- y ) = ( ( 0g ` G ) .- y ) )
33	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S ) )
35	34	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S ) )
36	30, 31, 35	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S )
37	1, 3	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> ( 0g ` G ) e. B )
39	21	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> y e. B )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
42	1, 40, 41, 7	grpsubval 17465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0g ` G ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
43	38, 39, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
44		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> G e. Grp )
45	1, 41	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
46	44, 39, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
47	1, 40, 3	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
48	44, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
49	43, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
51	50	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
53	36, 52	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( invg ` G ) ` y ) = ( ( invg ` G ) ` z ) )
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. S <-> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S ) )
56	55	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S /\ z e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S )
57	56	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S )
58		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .- y ) = ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
59	58	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
60	59	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. S -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
62		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> G e. Grp )
63		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) -> S C_ B )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> S C_ B )
65		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x e. S )
66	64, 65	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x e. B )
67		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
68	64, 67	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. B )
69	1, 40, 7, 41, 62, 66, 68	grpsubinv 17488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( x ( +g ` G ) z ) )
70	69	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
71	61, 70	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
72	71	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ x e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
73	72	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
74	73	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
75	74	impancom 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
76	53, 75	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S )
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
78	77	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) )
79	78	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) )
80	79	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
81	76, 80	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
82		r19.26 3064	. . . . . . 7 |- ( A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) <-> ( A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
83	81, 53, 82	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
84	12, 13, 83	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ S =/= (/) ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) )
85	84	exp42 639	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S C_ B -> ( S =/= (/) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) ) ) )
86	85	3impd 1281	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) )
87	1, 40, 41	issubg2 17609	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) )
88	86, 87	sylibrd 249	. 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
89	11, 88	impbid2 216	1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  dprdsubg  18423  dmatsgrp  20305  scmatsgrp  20325  scmatsgrp1  20328  clssubg  21912  tgpconncomp  21916