Theorem lcdvsubval 36907

Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsubval.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdvsubval.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdvsubval.v	|- V = ( Base ` U )
lcdvsubval.r	|- R = (Scalar ` U )
lcdvsubval.s	|- S = ( -g ` R )
lcdvsubval.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdvsubval.d	|- D = ( Base ` C )
lcdvsubval.m	|- .- = ( -g ` C )
lcdvsubval.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcdvsubval.f	|- ( ph -> F e. D )
lcdvsubval.g	|- ( ph -> G e. D )
lcdvsubval.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lcdvsubval	|- ( ph -> ( ( F .- G ) ` X ) = ( ( F ` X ) S ( G ` X ) ) )

Proof of Theorem lcdvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsubval.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
2		lcdvsubval.c	. . . . 5 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
3		lcdvsubval.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
4	1, 2, 3	lcdlmod 36881	. . . 4 |- ( ph -> C e. LMod )
5		lcdvsubval.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
6		lcdvsubval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. D )
7		lcdvsubval.d	. . . . 5 |- D = ( Base ` C )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
9		lcdvsubval.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` C )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` C ) = ( .s ` C )
12		eqid 2622	. . . . 5 |- ( invg ` (Scalar ` C ) ) = ( invg ` (Scalar ` C ) )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1r ` (Scalar ` C ) ) = ( 1r ` (Scalar ` C ) )
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 18918	. . . 4 |- ( ( C e. LMod /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F .- G ) = ( F ( +g ` C ) ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ) )
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( F .- G ) = ( F ( +g ` C ) ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ) )
16	15	fveq1d 6193	. 2 |- ( ph -> ( ( F .- G ) ` X ) = ( ( F ( +g ` C ) ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ) ` X ) )
17		lcdvsubval.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
18		lcdvsubval.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
19		lcdvsubval.r	. . 3 |- R = (Scalar ` U )
20		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
22	10	lmodfgrp 18872	. . . . . . 7 |- ( C e. LMod -> (Scalar ` C ) e. Grp )
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> (Scalar ` C ) e. Grp )
24	10	lmodring 18871	. . . . . . . 8 |- ( C e. LMod -> (Scalar ` C ) e. Ring )
25	4, 24	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Scalar ` C ) e. Ring )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
27	26, 13	ringidcl 18568	. . . . . . 7 |- ( (Scalar ` C ) e. Ring -> ( 1r ` (Scalar ` C ) ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
28	25, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` (Scalar ` C ) ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
29	26, 12	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` C ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` C ) ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
30	23, 28, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
31	1, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3	lcdsbase 36889	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` R ) )
32	30, 31	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) e. ( Base ` R ) )
33	1, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6	lcdvscl 36894	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) e. D )
34		lcdvsubval.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
35	1, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34	lcdvaddval 36887	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( +g ` C ) ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ) ` X ) = ( ( F ` X ) ( +g ` R ) ( ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ` X ) ) )
36		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
37	1, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3	lcdneg 36899	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( invg ` (Scalar ` C ) ) = ( invg ` R ) )
38		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
39	1, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3	lcd1 36898	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1r ` (Scalar ` C ) ) = ( 1r ` R ) )
40	37, 39	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ( .s ` C ) G ) )
42	41	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ` X ) = ( ( ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ( .s ` C ) G ) ` X ) )
43		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
44	1, 17, 3	dvhlmod 36399	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
45	19	lmodring 18871	. . . . . . . . 9 |- ( U e. LMod -> R e. Ring )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
47		ringgrp 18552	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
49	19, 21, 38	lmod1cl 18890	. . . . . . . 8 |- ( U e. LMod -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
51	21, 36	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
52	48, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
53	1, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34	lcdvsval 36893	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ( .s ` C ) G ) ` X ) = ( ( G ` X ) ( .r ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
54	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34	lcdvbasecl 36885	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` X ) e. ( Base ` R ) )
55	21, 43, 38, 36, 46, 54	rngnegr 18595	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G ` X ) ( .r ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( G ` X ) ) )
56	42, 53, 55	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ` X ) = ( ( invg ` R ) ` ( G ` X ) ) )
57	56	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` X ) ( +g ` R ) ( ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ` X ) ) = ( ( F ` X ) ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( G ` X ) ) ) )
58	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34	lcdvbasecl 36885	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` X ) e. ( Base ` R ) )
59		lcdvsubval.s	. . . . 5 |- S = ( -g ` R )
60	21, 20, 36, 59	grpsubval 17465	. . . 4 |- ( ( ( F ` X ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` X ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( F ` X ) S ( G ` X ) ) = ( ( F ` X ) ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( G ` X ) ) ) )
61	58, 54, 60	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` X ) S ( G ` X ) ) = ( ( F ` X ) ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( G ` X ) ) ) )
62	57, 61	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` X ) ( +g ` R ) ( ( ( ( invg ` (Scalar ` C ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` C ) ) ) ( .s ` C ) G ) ` X ) ) = ( ( F ` X ) S ( G ` X ) ) )
63	16, 35, 62	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( ( F .- G ) ` X ) = ( ( F ` X ) S ( G ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  37212