Theorem baerlem5alem1 36997

Description: Lemma for baerlem5a 37003. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	|- V = ( Base ` W )
baerlem3.m	|- .- = ( -g ` W )
baerlem3.o	|- .0. = ( 0g ` W )
baerlem3.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
baerlem3.n	|- N = ( LSpan ` W )
baerlem3.w	|- ( ph -> W e. LVec )
baerlem3.x	|- ( ph -> X e. V )
baerlem3.c	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
baerlem3.d	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
baerlem3.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.p	|- .+ = ( +g ` W )
baerlem3.t	|- .x. = ( .s ` W )
baerlem3.r	|- R = (Scalar ` W )
baerlem3.b	|- B = ( Base ` R )
baerlem3.a	|- .+^ = ( +g ` R )
baerlem3.l	|- L = ( -g ` R )
baerlem3.q	|- Q = ( 0g ` R )
baerlem3.i	|- I = ( invg ` R )
baerlem5a.a1	|- ( ph -> a e. B )
baerlem5a.b1	|- ( ph -> b e. B )
baerlem5a.d1	|- ( ph -> d e. B )
baerlem5a.e1	|- ( ph -> e e. B )
baerlem5a.j1	|- ( ph -> j = ( ( a .x. ( X .- Y ) ) .+ ( b .x. Z ) ) )
baerlem5a.j2	|- ( ph -> j = ( ( d .x. ( X .- Z ) ) .+ ( e .x. Y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem1	|- ( ph -> j = ( a .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5alem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem5a.j1	. . 3 |- ( ph -> j = ( ( a .x. ( X .- Y ) ) .+ ( b .x. Z ) ) )
2		baerlem3.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
3		baerlem3.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
4		baerlem3.r	. . . . . 6 |- R = (Scalar ` W )
5		baerlem3.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
6		baerlem3.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` W )
7		baerlem3.w	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LVec )
8		lveclmod 19106	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
10		baerlem5a.a1	. . . . . 6 |- ( ph -> a e. B )
11		baerlem3.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
12		baerlem3.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
13	12	eldifad 3586	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. V )
14	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13	lmodsubdi 18920	. . . . 5 |- ( ph -> ( a .x. ( X .- Y ) ) = ( ( a .x. X ) .- ( a .x. Y ) ) )
15		baerlem3.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
16		baerlem3.i	. . . . . 6 |- I = ( invg ` R )
17	2, 4, 3, 5	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ a e. B /\ X e. V ) -> ( a .x. X ) e. V )
18	9, 10, 11, 17	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a .x. X ) e. V )
19	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13	lmodsubvs 18919	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( a .x. X ) .- ( a .x. Y ) ) = ( ( a .x. X ) .+ ( ( I ` a ) .x. Y ) ) )
20	14, 19	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( a .x. ( X .- Y ) ) = ( ( a .x. X ) .+ ( ( I ` a ) .x. Y ) ) )
21	20	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( a .x. ( X .- Y ) ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( ( a .x. X ) .+ ( ( I ` a ) .x. Y ) ) .+ ( b .x. Z ) ) )
22	4	lmodring 18871	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
23		ringgrp 18552	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
24	9, 22, 23	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
25	5, 16	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ a e. B ) -> ( I ` a ) e. B )
26	24, 10, 25	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` a ) e. B )
27	2, 4, 3, 5	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( I ` a ) e. B /\ Y e. V ) -> ( ( I ` a ) .x. Y ) e. V )
28	9, 26, 13, 27	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( I ` a ) .x. Y ) e. V )
29		baerlem5a.b1	. . . . 5 |- ( ph -> b e. B )
30		baerlem3.z	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
31	30	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. V )
32	2, 4, 3, 5	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ b e. B /\ Z e. V ) -> ( b .x. Z ) e. V )
33	9, 29, 31, 32	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( b .x. Z ) e. V )
34	2, 15	lmodass 18878	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( a .x. X ) e. V /\ ( ( I ` a ) .x. Y ) e. V /\ ( b .x. Z ) e. V ) ) -> ( ( ( a .x. X ) .+ ( ( I ` a ) .x. Y ) ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( a .x. X ) .+ ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
35	9, 18, 28, 33, 34	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( a .x. X ) .+ ( ( I ` a ) .x. Y ) ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( a .x. X ) .+ ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
36	1, 21, 35	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> j = ( ( a .x. X ) .+ ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
37	2, 15	lmodvacl 18877	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
38	9, 13, 31, 37	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
39	2, 4, 3, 5	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ a e. B /\ ( Y .+ Z ) e. V ) -> ( a .x. ( Y .+ Z ) ) e. V )
40	9, 10, 38, 39	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( a .x. ( Y .+ Z ) ) e. V )
41		eqid 2622	. . . . 5 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
42	2, 15, 41, 6	grpsubval 17465	. . . 4 |- ( ( ( a .x. X ) e. V /\ ( a .x. ( Y .+ Z ) ) e. V ) -> ( ( a .x. X ) .- ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) = ( ( a .x. X ) .+ ( ( invg ` W ) ` ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) ) )
43	18, 40, 42	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( a .x. X ) .- ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) = ( ( a .x. X ) .+ ( ( invg ` W ) ` ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) ) )
44	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38	lmodsubdi 18920	. . 3 |- ( ph -> ( a .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) = ( ( a .x. X ) .- ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) )
45	2, 15, 4, 3, 5	lmodvsdi 18886	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( I ` a ) e. B /\ Y e. V /\ Z e. V ) ) -> ( ( I ` a ) .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( ( I ` a ) .x. Z ) ) )
46	9, 26, 13, 31, 45	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I ` a ) .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( ( I ` a ) .x. Z ) ) )
47	2, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10	lmodvsneg 18907	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) = ( ( I ` a ) .x. ( Y .+ Z ) ) )
48		baerlem3.o	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
49		baerlem3.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( LSpan ` W )
50		baerlem5a.e1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> e e. B )
51		baerlem5a.d1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> d e. B )
52	5, 16	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ d e. B ) -> ( I ` d ) e. B )
53	24, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` d ) e. B )
54		baerlem3.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
56	2, 55, 49, 9, 13, 31	lspprcl 18978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` W ) )
57		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
58	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31	lsppreli 19090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
59	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31	lsppreli 19090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( e .x. Y ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
60		baerlem5a.j2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> j = ( ( d .x. ( X .- Z ) ) .+ ( e .x. Y ) ) )
61	2, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31	lmodsubdi 18920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( d .x. ( X .- Z ) ) = ( ( d .x. X ) .- ( d .x. Z ) ) )
62	2, 4, 3, 5	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ d e. B /\ X e. V ) -> ( d .x. X ) e. V )
63	9, 51, 11, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( d .x. X ) e. V )
64	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31	lmodsubvs 18919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( d .x. X ) .- ( d .x. Z ) ) = ( ( d .x. X ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) )
65	61, 64	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( d .x. ( X .- Z ) ) = ( ( d .x. X ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( d .x. ( X .- Z ) ) .+ ( e .x. Y ) ) = ( ( ( d .x. X ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) .+ ( e .x. Y ) ) )
67		lmodabl 18910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
68	7, 8, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. Abel )
69	2, 4, 3, 5	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ ( I ` d ) e. B /\ Z e. V ) -> ( ( I ` d ) .x. Z ) e. V )
70	9, 53, 31, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( I ` d ) .x. Z ) e. V )
71	2, 4, 3, 5	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ e e. B /\ Y e. V ) -> ( e .x. Y ) e. V )
72	9, 50, 13, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( e .x. Y ) e. V )
73	2, 15, 68, 63, 70, 72	abl32 18214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( d .x. X ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) .+ ( e .x. Y ) ) = ( ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. Y ) ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) )
74	2, 15	lmodass 18878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( d .x. X ) e. V /\ ( e .x. Y ) e. V /\ ( ( I ` d ) .x. Z ) e. V ) ) -> ( ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. Y ) ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) = ( ( d .x. X ) .+ ( ( e .x. Y ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) ) )
75	9, 63, 72, 70, 74	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. Y ) ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) = ( ( d .x. X ) .+ ( ( e .x. Y ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) ) )
76	66, 73, 75	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( d .x. ( X .- Z ) ) .+ ( e .x. Y ) ) = ( ( d .x. X ) .+ ( ( e .x. Y ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) ) )
77	60, 36, 76	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a .x. X ) .+ ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) = ( ( d .x. X ) .+ ( ( e .x. Y ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) ) )
78	2, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77	lvecindp 19138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( a = d /\ ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( e .x. Y ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) ) )
79	78	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( e .x. Y ) .+ ( ( I ` d ) .x. Z ) ) )
80	2, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79	lvecindp2 19139	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( I ` a ) = e /\ b = ( I ` d ) ) )
81	80	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> b = ( I ` d ) )
82	78	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> a = d )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I ` a ) = ( I ` d ) )
84	81, 83	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> b = ( I ` a ) )
85	84	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( b .x. Z ) = ( ( I ` a ) .x. Z ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( ( I ` a ) .x. Z ) ) )
87	46, 47, 86	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( invg ` W ) ` ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) )
88	87	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( a .x. X ) .+ ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) = ( ( a .x. X ) .+ ( ( invg ` W ) ` ( a .x. ( Y .+ Z ) ) ) ) )
89	43, 44, 88	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ph -> ( ( a .x. X ) .+ ( ( ( I ` a ) .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) = ( a .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) )
90	36, 89	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> j = ( a .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  37000