Theorem gsummptnn0fzfv 18384

Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptnn0fzfv.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummptnn0fzfv.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsummptnn0fzfv.f	|- ( ph -> F e. ( B ^m NN0 ) )
gsummptnn0fzfv.s	|- ( ph -> S e. NN0 )
gsummptnn0fzfv.u	|- ( ph -> A. x e. NN0 ( S < x -> ( F ` x ) = .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv	|- ( ph -> ( G gsumg ( k e. NN0 |-> ( F ` k ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( 0 ... S ) |-> ( F ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, F, x   S, k, x   .0. , k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( x)   G( x, k)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptnn0fzfv.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsummptnn0fzfv.0	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsummptnn0fzfv.g	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsummptnn0fzfv.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( B ^m NN0 ) )
5		elmapi 7879	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m NN0 ) -> F : NN0 --> B )
6		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( F : NN0 --> B /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. B )
7	6	ex 450	. . . 4 |- ( F : NN0 --> B -> ( k e. NN0 -> ( F ` k ) e. B ) )
8	4, 5, 7	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN0 -> ( F ` k ) e. B ) )
9	8	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( F ` k ) e. B )
10		gsummptnn0fzfv.s	. 2 |- ( ph -> S e. NN0 )
11		gsummptnn0fzfv.u	. . 3 |- ( ph -> A. x e. NN0 ( S < x -> ( F ` x ) = .0. ) )
12		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = k -> ( S < x <-> S < k ) )
13		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) = .0. <-> ( F ` k ) = .0. ) )
15	12, 14	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( S < x -> ( F ` x ) = .0. ) <-> ( S < k -> ( F ` k ) = .0. ) ) )
16	15	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. x e. NN0 ( S < x -> ( F ` x ) = .0. ) <-> A. k e. NN0 ( S < k -> ( F ` k ) = .0. ) )
17	11, 16	sylib 208	. 2 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( S < k -> ( F ` k ) = .0. ) )
18	1, 2, 3, 9, 10, 17	gsummptnn0fzv 18383	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. NN0 |-> ( F ` k ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( 0 ... S ) |-> ( F ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   < clt 10074   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by: (None)