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Theorem telgsumfzslem 18385
Description: Lemma for telgsumfzs 18386 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b |- B = ( Base ` G )
telgsumfzs.g |- ( ph -> G e. Abel )
telgsumfzs.m |- .- = ( -g ` G )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) )
Distinct variable groups:   B, i, k   C, i   i, G   i, M, k   .- , i   ph, i   y, i, k
Allowed substitution hints:   ph( y, k)   B( y)   C( y, k)   G( y, k)   M( y)   .- ( y, k)
Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2 eqid 2622 . . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. Abel )
43adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> G e. Abel )
5 ablcmn 18199 . . . . . . 7 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
64, 5syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> G e. CMnd )
76adantl 482 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> G e. CMnd )
8 fzfid 12772 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) e. Fin )
9 ablgrp 18198 . . . . . . . . 9 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. Grp )
1110ad2antrl 764 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> G e. Grp )
1211adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> G e. Grp )
13 fzelp1 12393 . . . . . . 7 |- ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) -> i e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
14 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B )
1514adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B )
16 rspcsbela 4006 . . . . . . 7 |- ( ( i e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ i / k ]_ C e. B )
1713, 15, 16syl2anr 495 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. B )
18 fzp1elp1 12394 . . . . . . 7 |- ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
19 rspcsbela 4006 . . . . . . 7 |- ( ( ( i + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( i + 1 ) / k ]_ C e. B )
2018, 15, 19syl2anr 495 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> [_ ( i + 1 ) / k ]_ C e. B )
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7 |- .- = ( -g ` G )
221, 21grpsubcl 17495 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ [_ i / k ]_ C e. B /\ [_ ( i + 1 ) / k ]_ C e. B ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) e. B )
2312, 17, 20, 22syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) e. B )
24 fzp1disj 12399 . . . . . 6 |- ( ( M ... y ) i^i { ( y + 1 ) } ) = (/)
2524a1i 11 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( M ... y ) i^i { ( y + 1 ) } ) = (/) )
26 fzsuc 12388 . . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) )
2726adantr 481 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) )
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 18330 . . . 4 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ) )
2928adantr 481 . . 3 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ) )
30 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) )
31 grpmnd 17429 . . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3210, 31syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Mnd )
3332ad2antrl 764 . . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> G e. Mnd )
34 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( y + 1 ) e. _V )
35 peano2uz 11741 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
36 eluzfz2 12349 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( y + 1 ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( y + 1 ) ) )
38 fzelp1 12393 . . . . . . . . 9 |- ( ( y + 1 ) e. ( M ... ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
40 rspcsbela 4006 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B )
4139, 14, 40syl2an 494 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B )
42 peano2uz 11741 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4335, 42syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
44 eluzfz2 12349 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
46 rspcsbela 4006 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B )
4745, 14, 46syl2an 494 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B )
481, 21grpsubcl 17495 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B /\ [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B ) -> ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) e. B )
4911, 41, 47, 48syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) e. B )
50 csbeq1 3536 . . . . . . . 8 |- ( i = ( y + 1 ) -> [_ i / k ]_ C = [_ ( y + 1 ) / k ]_ C )
51 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( i = ( y + 1 ) -> ( i + 1 ) = ( ( y + 1 ) + 1 ) )
5251csbeq1d 3540 . . . . . . . 8 |- ( i = ( y + 1 ) -> [_ ( i + 1 ) / k ]_ C = [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C )
5350, 52oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( i = ( y + 1 ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
5453adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i = ( y + 1 ) ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
551, 33, 34, 49, 54gsumsnd 18352 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( G gsumg ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
5655adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsumg ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
5730, 56oveq12d 6668 . . 3 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ) = ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) )
58 eluzfz1 12348 . . . . . . 7 |- ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
5943, 58syl 17 . . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
60 rspcsbela 4006 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ M / k ]_ C e. B )
6159, 14, 60syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> [_ M / k ]_ C e. B )
621, 2, 21grpnpncan 17510 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( [_ M / k ]_ C e. B /\ [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B /\ [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B ) ) -> ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
6311, 61, 41, 47, 62syl13anc 1328 . . . 4 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
6463adantr 481 . . 3 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
6529, 57, 643eqtrd 2660 . 2 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
6665ex 450 1 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  18386
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