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Theorem gzmulcl 15642
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 15636 . . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2 gzcn 15636 . . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3 mulcl 10020 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
41, 2, 3syl2an 494 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. CC )
5 remul 13869 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
61, 2, 5syl2an 494 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
7 elgz 15635 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
87simp2bi 1077 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
9 elgz 15635 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
109simp2bi 1077 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
11 zmulcl 11426 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
128, 10, 11syl2an 494 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
137simp3bi 1078 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
149simp3bi 1078 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
15 zmulcl 11426 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1613, 14, 15syl2an 494 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1712, 16zsubcld 11487 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. ZZ )
186, 17eqeltrd 2701 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
19 immul 13876 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 494 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
21 zmulcl 11426 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
228, 14, 21syl2an 494 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
23 zmulcl 11426 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2413, 10, 23syl2an 494 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2522, 24zaddcld 11486 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. ZZ )
2620, 25eqeltrd 2701 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
27 elgz 15635 . 2 |- ( ( A x. B ) e. ZZ[_i] <-> ( ( A x. B ) e. CC /\ ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1246 1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   ZZcz 11377   Recre 13837   Imcim 13838   ZZ[_i]cgz 15633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-gz 15634
This theorem is referenced by:  gzreim  15643  mul4sqlem  15657  gzsubrg  19800  mul2sq  25144  2sqlem3  25145
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