2sqlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqlem3 25145

Description: Lemma for 2sqlem5 25147. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 15643	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 15643	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . . 7
9		gzmulcl 15642	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . 6
11		gzcn 15636	. . . . . 6
12	10, 11	syl 17	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 15388	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6
16	15	nncnd 11036	. . . . 5
17	15	nnne0d 11065	. . . . 5
18	12, 16, 17	divcld 10801	. . . 4
19	15	nnred 11035	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivd 13969	. . . . 5
21		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . 14
22	13, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
23		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
24	22, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
25	16	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12
26	24, 25	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11
27		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12
29		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . 13
30	22, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
31		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
32	28, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
33	28, 30	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12
34		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
35	22, 30, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$
36	26, 32, 35	mp2and 715	. . . . . . . . . 10
37		gzcn 15636	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	4, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	38	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13
41		gzcn 15636	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	8, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	42	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13
45	40, 44	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . 12
46	1	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	2	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	46, 47	crred 13971	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	46, 47	crimd 13972	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	49, 51	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
53	38	absvalsq2d 14182	. . . . . . . . . . . . . 14
54		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
55	52, 53, 54	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13
56	5	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	6	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	crred 13971	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	56, 57	crimd 13972	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	60	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	59, 61	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
63	42	absvalsq2d 14182	. . . . . . . . . . . . . 14
64		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
65	62, 63, 64	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13
66	55, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
67	27	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13
68	67, 16, 16	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12
69	45, 66, 68	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11
70	38, 42	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . 12
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
72	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
73	69, 71, 72	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10
74	36, 73	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9
75	12	absvalsq2d 14182	. . . . . . . . . 10
76		elgz 15635	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
77	76	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . 14
78	10, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
79		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . 13
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
81	80	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11
82	76	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . 14
83	10, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
84		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . 13
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
86	85	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11
87	81, 86	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10
88	75, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
89	74, 88	breqtrd 4679	. . . . . . . 8
90		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
91	5	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15
92	2	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	91, 92	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
94	1	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	6	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	94, 95	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
97	93, 96	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13
98	91, 92	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
100	97, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
101	90, 100	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11
102	38, 42	immuld 13959	. . . . . . . . . . . 12
103	48, 60	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
104	50, 58	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
105	103, 104	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
106	102, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
107	101, 106	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10
108		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
110		prmdvdsexp 15427	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
111	13, 83, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10
112	107, 111	mpbird 247	. . . . . . . . 9
113		dvdsadd2b 15028	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
114	22, 80, 85, 112, 113	syl112anc 1330	. . . . . . . 8
115	89, 114	mpbird 247	. . . . . . 7
116		prmdvdsexp 15427	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
117	13, 78, 109, 116	syl3anc 1326	. . . . . . 7
118	115, 117	mpbid 222	. . . . . 6
119		dvdsval2 14986	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120	22, 17, 78, 119	syl3anc 1326	. . . . . 6
121	118, 120	mpbid 222	. . . . 5
122	20, 121	eqeltrd 2701	. . . 4
123	19, 12, 17	imdivd 13970	. . . . 5
124		dvdsval2 14986	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	22, 17, 83, 124	syl3anc 1326	. . . . . 6
126	107, 125	mpbid 222	. . . . 5
127	123, 126	eqeltrd 2701	. . . 4
128		elgz 15635	. . . 4 $/\$ $/\$
129	18, 122, 127, 128	syl3anbrc 1246	. . 3
130	12, 16, 17	absdivd 14194	. . . . . 6
131	15	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9
132	131	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8
133	19, 132	absidd 14161	. . . . . . 7
134	133	oveq2d 6666	. . . . . 6
135	130, 134	eqtrd 2656	. . . . 5
136	135	oveq1d 6665	. . . 4
137	12	abscld 14175	. . . . . 6
138	137	recnd 10068	. . . . 5
139	138, 16, 17	sqdivd 13021	. . . 4
140	73	oveq1d 6665	. . . . 5
141	15	nnsqcld 13029	. . . . . . 7
142	141	nncnd 11036	. . . . . 6
143	141	nnne0d 11065	. . . . . 6
144	67, 142, 143	divcan4d 10807	. . . . 5
145	140, 144	eqtrd 2656	. . . 4
146	136, 139, 145	3eqtrrd 2661	. . 3
147		fveq2 6191	. . . . . 6
148	147	oveq1d 6665	. . . . 5
149	148	eqeq2d 2632	. . . 4
150	149	rspcev 3309	. . 3 $/\$
151	129, 146, 150	syl2anc 693	. 2
152		2sq.1	. . 3
153	152	2sqlem1 25142	. 2
154	151, 153	sylibr 224	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653

cmpt 4729

crn 5115

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cz 11377

cexp 12860

cre 13837

cim 13838

cabs 13974

cdvds 14983

cprime 15385

cgz 15633

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-gz 15634

This theorem is referenced by: 2sqlem4 25146

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