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Theorem hashf1 13241

Description: The permutation number

counts the number of injections from

. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashf1	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem hashf1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 6097	. . . . . . . . 9
2		f1fn 6102	. . . . . . . . . . . 12
3		fn0 6011	. . . . . . . . . . . 12
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . . . . . 11
5		f10 6169	. . . . . . . . . . . 12
6		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . 12
7	5, 6	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11
8	4, 7	impbii 199	. . . . . . . . . 10
9		velsn 4193	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	bitr4i 267	. . . . . . . . 9
11	1, 10	syl6bb 276	. . . . . . . 8
12	11	abbi1dv 2743	. . . . . . 7
13	12	fveq2d 6195	. . . . . 6
14		0ex 4790	. . . . . . 7
15		hashsng 13159	. . . . . . 7
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6
17	13, 16	syl6eq 2672	. . . . 5
18		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
19		hash0 13158	. . . . . . . . 9
20	18, 19	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7
22		fac0 13063	. . . . . . 7
23	21, 22	syl6eq 2672	. . . . . 6
24	20	oveq2d 6666	. . . . . 6
25	23, 24	oveq12d 6668	. . . . 5
26	17, 25	eqeq12d 2637	. . . 4
27	26	imbi2d 330	. . 3
28		f1eq2 6097	. . . . . . 7
29	28	abbidv 2741	. . . . . 6
30	29	fveq2d 6195	. . . . 5
31		fveq2 6191	. . . . . . 7
32	31	fveq2d 6195	. . . . . 6
33	31	oveq2d 6666	. . . . . 6
34	32, 33	oveq12d 6668	. . . . 5
35	30, 34	eqeq12d 2637	. . . 4
36	35	imbi2d 330	. . 3
37		f1eq2 6097	. . . . . . 7
38	37	abbidv 2741	. . . . . 6
39	38	fveq2d 6195	. . . . 5
40		fveq2 6191	. . . . . . 7
41	40	fveq2d 6195	. . . . . 6
42	40	oveq2d 6666	. . . . . 6
43	41, 42	oveq12d 6668	. . . . 5
44	39, 43	eqeq12d 2637	. . . 4
45	44	imbi2d 330	. . 3
46		f1eq2 6097	. . . . . . 7
47	46	abbidv 2741	. . . . . 6
48	47	fveq2d 6195	. . . . 5
49		fveq2 6191	. . . . . . 7
50	49	fveq2d 6195	. . . . . 6
51	49	oveq2d 6666	. . . . . 6
52	50, 51	oveq12d 6668	. . . . 5
53	48, 52	eqeq12d 2637	. . . 4
54	53	imbi2d 330	. . 3
55		hashcl 13147	. . . . . 6
56		bcn0 13097	. . . . . 6
57	55, 56	syl 17	. . . . 5
58	57	oveq2d 6666	. . . 4
59		1t1e1 11175	. . . 4
60	58, 59	syl6req 2673	. . 3
61		abn0 3954	. . . . . . . . . . . . 13
62		f1domg 7975	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
64		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65		hashunsng 13181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
68	67	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
70		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
72	69, 70, 71	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
73		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
74		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	72, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
76		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77	76	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
78		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
80	79	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
81	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82	81	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
83	80, 82	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
84	68, 75, 83	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
85	63, 84	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
86	85	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87	61, 86	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
88	87	necon4ad 2813	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
89	88	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
91		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . 14
92	72, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
93		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . 13
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	94	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	mul01d 10235	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	19, 90, 97	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
99	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
101	81	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
102	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
104		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	olcd 408	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
106		bcval4 13094	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
107	101, 103, 105, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
108	100, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	98, 109	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	a1d 25	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
112		oveq2 6658	. . . . . . 7
113	69	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
114	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
115		simplrr 801	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	113, 114, 115, 116	hashf1lem2 13240	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
118	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
119		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
122	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
123		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
125		nn0sub2 11438	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
126	124, 118, 116, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
127		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
130	128	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	121, 129, 130	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
132		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . 13
133	124, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
134	133	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
135	133	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
136	131, 134, 135	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
137	118	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
138	122	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
139	137, 138	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
140		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14
141		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
142	139, 140, 141	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
143		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
144	137, 138, 143	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
145	144, 126	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
146		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . 14
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
148	142, 147	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
150	131, 139, 149	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
151	136, 150	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
152	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
154		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . 15
155	124, 154	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
156	118	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
157		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
158	155, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
159	116, 158	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
160		bcval2 13092	. . . . . . . . . . . 12
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
162	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
163	121, 129, 134, 130, 135	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
164	161, 162, 163	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
165	153, 164	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
166	122, 154	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
167		peano2fzr 12354	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
168	166, 159, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
169		bcval2 13092	. . . . . . . . . . . . . 14
170	168, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
171		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
172	168, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
173		nn0sub2 11438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
174	122, 118, 172, 173	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
175		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
177	176	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
178		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16
179	122, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
180	179	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
181	176	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
182	179	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
183	121, 177, 180, 181, 182	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
184	170, 183	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
186		facnn2 13069	. . . . . . . . . . . . . . 15
187	148, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
188	144	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
189	188	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
190	187, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
192	121, 177, 181	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
193	192, 180, 182	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
194	121, 129, 139, 130, 149	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
195	191, 193, 194	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
196	185, 195	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
197	196	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
198	151, 165, 197	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
199	117, 198	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
200	112, 199	syl5ibr 236	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
201	111, 200, 82, 80	ltlecasei 10145	. . . . 5 $/\$ $/\$
202	201	expcom 451	. . . 4 $/\$
203	202	a2d 29	. . 3 $/\$
204	27, 36, 45, 54, 60, 203	findcard2s 8201	. 2
205	204	imp 445	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

cvv 3200

cun 3572

c0 3915

csn 4177 class class class wbr 4653

wfn 5883

wf1 5885

cfv 5888 (class class class)co 6650

cdom 7953

cfn 7955

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cfa 13060

cbc 13089

chash 13117

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-seq 12802 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118

This theorem is referenced by: hashfac 13242 birthdaylem2 24679

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