Theorem hashf1lem2 13240

Description: Lemma for hashf1 13241. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashf1lem2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashf1lem2.2	|- ( ph -> B e. Fin )
hashf1lem2.3	|- ( ph -> -. z e. A )
hashf1lem2.4	|- ( ph -> ( ( # ` A ) + 1 ) <_ ( # ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
hashf1lem2	|- ( ph -> ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )

Distinct variable groups:   z, f   A, f   B, f   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   B( z)

Proof of Theorem hashf1lem2

Dummy variables a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A -1-1-> B }
2		hashf1lem2.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
3		hashf1lem2.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
4		mapfi 8262	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( B ^m A ) e. Fin )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( B ^m A ) e. Fin )
6		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
7	2, 3	elmapd 7871	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. ( B ^m A ) <-> f : A --> B ) )
8	6, 7	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( ph -> ( f : A -1-1-> B -> f e. ( B ^m A ) ) )
9	8	abssdv 3676	. . . 4 |- ( ph -> { f | f : A -1-1-> B } C_ ( B ^m A ) )
10		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ( B ^m A ) e. Fin /\ { f | f : A -1-1-> B } C_ ( B ^m A ) ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )
11	5, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )
12		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } <-> (/) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) )
13		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. (/) ) )
14		noel 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( f |` A ) e. (/)
15	14	pm2.21i 116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f |` A ) e. (/) -> f e. (/) )
16	13, 15	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( f |` A ) e. x -> f e. (/) ) )
17	16	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> f e. (/) ) )
18	17	abssdv 3676	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ (/) )
19		ss0 3974	. . . . . . . . . 10 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( # ` (/) ) )
22		hash0 13158	. . . . . . . 8 |- ( # ` (/) ) = 0
23	21, 22	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = 0 )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
25	24, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 0 ) )
27	23, 26	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) <-> 0 = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 0 ) ) )
28	12, 27	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) <-> ( (/) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> 0 = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 0 ) ) ) )
29	28	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ph -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> 0 = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 0 ) ) ) ) )
30		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } <-> y C_ { f | f : A -1-1-> B } ) )
31		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. y ) )
32	31	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
33	32	abbidv 2741	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) )
37	34, 36	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) <-> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) )
38	30, 37	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) <-> ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) ) )
39	38	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) ) ) )
40		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } <-> ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) )
41		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) ) )
42	41	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
43	42	abbidv 2741	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { a } ) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( y u. { a } ) ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) )
47	44, 46	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) <-> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
48	40, 47	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) <-> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
49	48	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( ph -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) ) )
50		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } <-> { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A -1-1-> B } ) )
51		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = y -> ( f : A -1-1-> B <-> y : A -1-1-> B ) )
52	51	cbvabv 2747	. . . . . . . . . 10 |- { f | f : A -1-1-> B } = { y | y : A -1-1-> B }
53	52	eqeq2i 2634	. . . . . . . . 9 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } <-> x = { y | y : A -1-1-> B } )
54		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A C_ ( A u. { z } )
55		f1ssres 6108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B /\ A C_ ( A u. { z } ) ) -> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
56	54, 55	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
57		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
58	57	resex 5443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f |` A ) e. _V
59		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( f |` A ) -> ( y : A -1-1-> B <-> ( f |` A ) : A -1-1-> B ) )
60	58, 59	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } <-> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
61	56, 60	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } )
62		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } ) )
63	61, 62	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) e. x ) )
64	63	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B <-> ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
65	64	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
66	65	abbidv 2741	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } )
67	53, 66	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` x ) = ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )
71	68, 70	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) <-> ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) )
72	50, 71	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) <-> ( { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
73	72	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( ph -> ( x C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) ) ) )
74		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin -> ( # ` B ) e. NN0 )
75	2, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
76	75	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` B ) e. CC )
77		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
78	3, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
79	78	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` A ) e. CC )
80	76, 79	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) e. CC )
81	80	mul01d 10235	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 0 ) = 0 )
82	81	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> 0 = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 0 ) )
83	82	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> 0 = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 0 ) ) )
84		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { a } )
85		sstr 3611	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ( y u. { a } ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> y C_ { f | f : A -1-1-> B } )
86	84, 85	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> y C_ { f | f : A -1-1-> B } )
87	86	imim1i 63	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) -> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) )
88		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) = ( ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) )
89		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) e. { a } ) )
90	58	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f |` A ) e. { a } <-> ( f |` A ) = a )
91	90	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) e. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) )
92	89, 91	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) )
93	92	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
94		andir 912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
95	93, 94	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
96	95	abbii 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
97		unab 3894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
98	96, 97	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
99	98	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( # ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
100		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { z } e. Fin
101		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
102	3, 100, 101	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
103		mapvalg 7867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. Fin /\ ( A u. { z } ) e. Fin ) -> ( B ^m ( A u. { z } ) ) = { f | f : ( A u. { z } ) --> B } )
104	2, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B ^m ( A u. { z } ) ) = { f | f : ( A u. { z } ) --> B } )
105		mapfi 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. Fin /\ ( A u. { z } ) e. Fin ) -> ( B ^m ( A u. { z } ) ) e. Fin )
106	2, 102, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B ^m ( A u. { z } ) ) e. Fin )
107	104, 106	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { f | f : ( A u. { z } ) --> B } e. Fin )
108		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> f : ( A u. { z } ) --> B )
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> f : ( A u. { z } ) --> B )
110	109	ss2abi 3674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ { f | f : ( A u. { z } ) --> B }
111		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { f | f : ( A u. { z } ) --> B } e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ { f | f : ( A u. { z } ) --> B } ) -> { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
112	107, 110, 111	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
114	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> f : ( A u. { z } ) --> B )
115	114	ss2abi 3674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ { f | f : ( A u. { z } ) --> B }
116		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { f | f : ( A u. { z } ) --> B } e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ { f | f : ( A u. { z } ) --> B } ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
117	107, 115, 116	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
119		inab 3895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
120		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> -. a e. y )
121		abn0 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } =/= (/) <-> E. f ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
122		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( f |` A ) = a )
123		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( f |` A ) e. y )
124	122, 123	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> a e. y )
125	124	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. f ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> a e. y )
126	121, 125	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } =/= (/) -> a e. y )
127	126	necon1bi 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. a e. y -> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
128	120, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
129	119, 128	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) )
130		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
131	113, 118, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( # ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
132	99, 131	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
133		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } )
134	133	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
135		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- a e. _V
136	135	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { f | f : A -1-1-> B } <-> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
137	134, 136	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> a e. { f | f : A -1-1-> B } )
138		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = a -> ( f : A -1-1-> B <-> a : A -1-1-> B ) )
139	135, 138	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { f | f : A -1-1-> B } <-> a : A -1-1-> B )
140	137, 139	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> a : A -1-1-> B )
141	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` A ) e. CC )
142	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
143		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. NN0 )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. NN0 )
145	144	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. CC )
146	141, 145	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ( ( # ` A ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) - ( # ` A ) ) = ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
147		f1f1orn 6148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a : A -1-1-> B -> a : A -1-1-onto-> ran a )
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> a : A -1-1-onto-> ran a )
149		f1oen3g 7971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. _V /\ a : A -1-1-onto-> ran a ) -> A ~~ ran a )
150	135, 148, 149	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> A ~~ ran a )
151		hasheni 13136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A ~~ ran a -> ( # ` A ) = ( # ` ran a ) )
152	150, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` A ) = ( # ` ran a ) )
153	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> A e. Fin )
154	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> B e. Fin )
155		hashf1lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> -. z e. A )
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> -. z e. A )
157		hashf1lem2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( # ` A ) + 1 ) <_ ( # ` B ) )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ( # ` A ) + 1 ) <_ ( # ` B ) )
159		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> a : A -1-1-> B )
160	153, 154, 156, 158, 159	hashf1lem1 13239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) )
161		hasheni 13136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( # ` ( B \ ran a ) ) )
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( # ` ( B \ ran a ) ) )
163	152, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( ( # ` ran a ) + ( # ` ( B \ ran a ) ) ) )
164		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a : A -1-1-> B -> a : A --> B )
165		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a : A --> B -> ran a C_ B )
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a : A -1-1-> B -> ran a C_ B )
167	166	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a C_ B )
168		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ran a C_ B ) -> ran a e. Fin )
169	154, 167, 168	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a e. Fin )
170		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. Fin -> ( B \ ran a ) e. Fin )
171	154, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( B \ ran a ) e. Fin )
172		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/)
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/) )
174		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ran a e. Fin /\ ( B \ ran a ) e. Fin /\ ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/) ) -> ( # ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = ( ( # ` ran a ) + ( # ` ( B \ ran a ) ) ) )
175	169, 171, 173, 174	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = ( ( # ` ran a ) + ( # ` ( B \ ran a ) ) ) )
176		undif 4049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ran a C_ B <-> ( ran a u. ( B \ ran a ) ) = B )
177	167, 176	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ran a u. ( B \ ran a ) ) = B )
178	177	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = ( # ` B ) )
179	163, 175, 178	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( # ` B ) )
180	179	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ( ( # ` A ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) - ( # ` A ) ) = ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) )
181	146, 180	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) )
182	140, 181	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) )
183	182	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( # ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) )
184	132, 183	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) )
185		hashunsng 13181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> ( # ` ( y u. { a } ) ) = ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
186	135, 185	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> ( # ` ( y u. { a } ) ) = ( ( # ` y ) + 1 ) )
187	186	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( # ` ( y u. { a } ) ) = ( ( # ` y ) + 1 ) )
188	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
189	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) e. CC )
190		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> y e. Fin )
191		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. Fin -> ( # ` y ) e. NN0 )
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( # ` y ) e. NN0 )
193	192	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( # ` y ) e. CC )
194		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> 1 e. CC )
195	189, 193, 194	adddid 10064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( ( # ` y ) + 1 ) ) = ( ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) + ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 1 ) ) )
196	189	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 1 ) = ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) )
197	196	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) + ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. 1 ) ) = ( ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) )
198	188, 195, 197	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) )
199	184, 198	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) <-> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) = ( ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) + ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) ) ) )
200	88, 199	syl5ibr 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
201	200	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. a e. y ) ) -> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
202	201	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. a e. y ) ) -> ( ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) -> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
203	87, 202	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. a e. y ) ) -> ( ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) -> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
204	203	expcom 451	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> ( ph -> ( ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) -> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) ) )
205	204	a2d 29	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` y ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) ) )
206	29, 39, 49, 73, 83, 205	findcard2s 8201	. . 3 |- ( { f | f : A -1-1-> B } e. Fin -> ( ph -> ( { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
207	11, 206	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A -1-1-> B } -> ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) )
208	1, 207	mpi 20	1 |- ( ph -> ( # ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ( # ` B ) - ( # ` A ) ) x. ( # ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashf1  13241