Theorem hhshsslem1 28124

Description: Lemma for hhsssh 28126. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
hhsst.2	|- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
hhssp3.3	|- W e. ( SubSp ` U )
hhssp3.4	|- H C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	|- H = ( BaseSet ` W )

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( +v ` W ) = ( +v ` W )
3	1, 2	bafval 27459	. . 3 |- ( BaseSet ` W ) = ran ( +v ` W )
4		hhsst.1	. . . . . . 7 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
5	4	hhnv 28022	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . 6 |- W e. ( SubSp ` U )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
8	7	sspnv 27581	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> W e. NrmCVec )
9	5, 6, 8	mp2an 708	. . . . 5 |- W e. NrmCVec
10	2	nvgrp 27472	. . . . 5 |- ( W e. NrmCVec -> ( +v ` W ) e. GrpOp )
11		grporndm 27364	. . . . 5 |- ( ( +v ` W ) e. GrpOp -> ran ( +v ` W ) = dom dom ( +v ` W ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 |- ran ( +v ` W ) = dom dom ( +v ` W )
13		hhsst.2	. . . . . . . . . 10 |- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
14	13	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( +v ` W ) = ( +v ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( +v ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) = ( +v ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. )
16	15	vafval 27458	. . . . . . . . . 10 |- ( +v ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) = ( 1st ` ( 1st ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) )
17		opex 4932	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. e. _V
18		normf 27980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- normh : ~H --> RR
19		ax-hilex 27856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~H e. _V
20		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( normh : ~H --> RR /\ ~H e. _V ) -> normh e. _V )
21	18, 19, 20	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- normh e. _V
22	21	resex 5443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( normh |` H ) e. _V
23	17, 22	op1st 7176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) = <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >.
24	23	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` ( 1st ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) ) = ( 1st ` <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. )
25		hilablo 28017	. . . . . . . . . . . . 13 |- +h e. AbelOp
26		resexg 5442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +h e. AbelOp -> ( +h |` ( H X. H ) ) e. _V )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +h |` ( H X. H ) ) e. _V
28		hvmulex 27868	. . . . . . . . . . . . 13 |- .h e. _V
29	28	resex 5443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .h |` ( CC X. H ) ) e. _V
30	27, 29	op1st 7176	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. ) = ( +h |` ( H X. H ) )
31	24, 30	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` ( 1st ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) ) = ( +h |` ( H X. H ) )
32	16, 31	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( +v ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) = ( +h |` ( H X. H ) )
33	14, 32	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( +v ` W ) = ( +h |` ( H X. H ) )
34	33	dmeqi 5325	. . . . . . 7 |- dom ( +v ` W ) = dom ( +h |` ( H X. H ) )
35		hhssp3.4	. . . . . . . . . 10 |- H C_ ~H
36		xpss12 5225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H C_ ~H /\ H C_ ~H ) -> ( H X. H ) C_ ( ~H X. ~H ) )
37	35, 35, 36	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( H X. H ) C_ ( ~H X. ~H )
38		ax-hfvadd 27857	. . . . . . . . . 10 |- +h : ( ~H X. ~H ) --> ~H
39	38	fdmi 6052	. . . . . . . . 9 |- dom +h = ( ~H X. ~H )
40	37, 39	sseqtr4i 3638	. . . . . . . 8 |- ( H X. H ) C_ dom +h
41		ssdmres 5420	. . . . . . . 8 |- ( ( H X. H ) C_ dom +h <-> dom ( +h |` ( H X. H ) ) = ( H X. H ) )
42	40, 41	mpbi 220	. . . . . . 7 |- dom ( +h |` ( H X. H ) ) = ( H X. H )
43	34, 42	eqtri 2644	. . . . . 6 |- dom ( +v ` W ) = ( H X. H )
44	43	dmeqi 5325	. . . . 5 |- dom dom ( +v ` W ) = dom ( H X. H )
45		dmxpid 5345	. . . . 5 |- dom ( H X. H ) = H
46	44, 45	eqtri 2644	. . . 4 |- dom dom ( +v ` W ) = H
47	12, 46	eqtri 2644	. . 3 |- ran ( +v ` W ) = H
48	3, 47	eqtri 2644	. 2 |- ( BaseSet ` W ) = H
49	48	eqcomi 2631	1 |- H = ( BaseSet ` W )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888   1stc1st 7166   CCcc 9934   RRcr 9935   GrpOpcgr 27343   AbelOpcablo 27398   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   SubSpcss 27576   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-ssp 27577  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  28125  hhssba  28128