Theorem i1f1lem 23456

Description: Lemma for i1f1 23457 and itg11 23458. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
i1f1lem	|- ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem i1f1lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 10035	. . . . . 6 |- 1 e. _V
2	1	prid2 4298	. . . . 5 |- 1 e. { 0 , 1 }
3		c0ex 10034	. . . . . 6 |- 0 e. _V
4	3	prid1 4297	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
5	2, 4	keepel 4155	. . . 4 |- if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 }
6	5	rgenw 2924	. . 3 |- A. x e. RR if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 }
7		i1f1.1	. . . 4 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )
8	7	fmpt 6381	. . 3 |- ( A. x e. RR if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 } <-> F : RR --> { 0 , 1 } )
9	6, 8	mpbi 220	. 2 |- F : RR --> { 0 , 1 }
10	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 } )
11	10, 7	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> F : RR --> { 0 , 1 } )
12		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } -> F Fn RR )
13		elpreima 6337	. . . . . 6 |- ( F Fn RR -> ( y e. ( `' F " { 1 } ) <-> ( y e. RR /\ ( F ` y ) e. { 1 } ) ) )
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( y e. ( `' F " { 1 } ) <-> ( y e. RR /\ ( F ` y ) e. { 1 } ) ) )
15		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` y ) e. _V
16	15	elsn 4192	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) e. { 1 } <-> ( F ` y ) = 1 )
17		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
18	17	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> if ( x e. A , 1 , 0 ) = if ( y e. A , 1 , 0 ) )
19	1, 3	ifex 4156	. . . . . . . . . 10 |- if ( y e. A , 1 , 0 ) e. _V
20	18, 7, 19	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( F ` y ) = if ( y e. A , 1 , 0 ) )
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( ( F ` y ) = 1 <-> if ( y e. A , 1 , 0 ) = 1 ) )
22		0ne1 11088	. . . . . . . . . . 11 |- 0 =/= 1
23		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y e. A -> if ( y e. A , 1 , 0 ) = 0 )
24	23	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. y e. A -> ( if ( y e. A , 1 , 0 ) = 1 <-> 0 = 1 ) )
25	24	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. y e. A -> ( -. if ( y e. A , 1 , 0 ) = 1 <-> 0 =/= 1 ) )
26	22, 25	mpbiri 248	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. A -> -. if ( y e. A , 1 , 0 ) = 1 )
27	26	con4i 113	. . . . . . . . 9 |- ( if ( y e. A , 1 , 0 ) = 1 -> y e. A )
28		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> if ( y e. A , 1 , 0 ) = 1 )
29	27, 28	impbii 199	. . . . . . . 8 |- ( if ( y e. A , 1 , 0 ) = 1 <-> y e. A )
30	21, 29	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( F ` y ) = 1 <-> y e. A ) )
31	16, 30	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( F ` y ) e. { 1 } <-> y e. A ) )
32	31	pm5.32i 669	. . . . 5 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` y ) e. { 1 } ) <-> ( y e. RR /\ y e. A ) )
33	14, 32	syl6bb 276	. . . 4 |- ( A e. dom vol -> ( y e. ( `' F " { 1 } ) <-> ( y e. RR /\ y e. A ) ) )
34		mblss 23299	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
35	34	sseld 3602	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( y e. A -> y e. RR ) )
36	35	pm4.71rd 667	. . . 4 |- ( A e. dom vol -> ( y e. A <-> ( y e. RR /\ y e. A ) ) )
37	33, 36	bitr4d 271	. . 3 |- ( A e. dom vol -> ( y e. ( `' F " { 1 } ) <-> y e. A ) )
38	37	eqrdv 2620	. 2 |- ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A )
39	9, 38	pm3.2i 471	1 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  i1f1  23457  itg11  23458