Theorem i1f1 23457

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
i1f1	|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )
2	1	i1f1lem 23456	. . . . 5 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A ) )
3	2	simpli 474	. . . 4 |- F : RR --> { 0 , 1 }
4		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
6		prssi 4353	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ RR
8		fss 6056	. . . 4 |- ( ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ RR ) -> F : RR --> RR )
9	3, 7, 8	mp2an 708	. . 3 |- F : RR --> RR
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> RR )
11		prfi 8235	. . 3 |- { 0 , 1 } e. Fin
12		1ex 10035	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
13	12	prid2 4298	. . . . . . 7 |- 1 e. { 0 , 1 }
14		c0ex 10034	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	prid1 4297	. . . . . . 7 |- 0 e. { 0 , 1 }
16	13, 15	keepel 4155	. . . . . 6 |- if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 }
17	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 } )
18	17, 1	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> { 0 , 1 } )
19		frn 6053	. . . 4 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } -> ran F C_ { 0 , 1 } )
20	18, 19	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F C_ { 0 , 1 } )
21		ssfi 8180	. . 3 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ ran F C_ { 0 , 1 } ) -> ran F e. Fin )
22	11, 20, 21	sylancr 695	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F e. Fin )
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ran F C_ { 0 , 1 }
24		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
25	24	equncomi 3759	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } = ( { 1 } u. { 0 } )
26	23, 25	sseqtri 3637	. . . . . . . . . 10 |- ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } )
27		ssdif 3745	. . . . . . . . . 10 |- ( ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } )
29		difun2 4048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( { 1 } \ { 0 } )
30		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( { 1 } \ { 0 } ) C_ { 1 }
31	29, 30	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) C_ { 1 }
32	28, 31	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ { 1 }
33	32	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y e. { 1 } )
34		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( y e. { 1 } -> y = 1 )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y = 1 )
36	35	sneqd 4189	. . . . 5 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> { y } = { 1 } )
37	36	imaeq2d 5466	. . . 4 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> ( `' F " { y } ) = ( `' F " { 1 } ) )
38	2	simpri 478	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A )
39	38	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( `' F " { 1 } ) = A )
40	37, 39	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) = A )
41		simpll 790	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A e. dom vol )
42	40, 41	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) e. dom vol )
43	40	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) = ( vol ` A ) )
44		simplr 792	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` A ) e. RR )
45	43, 44	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) e. RR )
46	10, 22, 42, 45	i1fd 23448	1 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   volcvol 23232   S.1citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  itg11  23458  itg2const  23507  itg2addnclem  33461