Theorem iccpartgtl 41362

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtl	|- ( ph -> A. i e. ( 1 ... M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )

Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i

Proof of Theorem iccpartgtl

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
2		elnnuz 11724	. . . . . . 7 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3	1, 2	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		fzisfzounsn 12580	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... M ) = ( ( 1..^ M ) u. { M } ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) = ( ( 1..^ M ) u. { M } ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> i e. ( ( 1..^ M ) u. { M } ) ) )
7		elun 3753	. . . . 5 |- ( i e. ( ( 1..^ M ) u. { M } ) <-> ( i e. ( 1..^ M ) \/ i e. { M } ) )
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( ( 1..^ M ) u. { M } ) <-> ( i e. ( 1..^ M ) \/ i e. { M } ) ) )
9		velsn 4193	. . . . . 6 |- ( i e. { M } <-> i = M )
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( i e. { M } <-> i = M ) )
11	10	orbi2d 738	. . . 4 |- ( ph -> ( ( i e. ( 1..^ M ) \/ i e. { M } ) <-> ( i e. ( 1..^ M ) \/ i = M ) ) )
12	6, 8, 11	3bitrd 294	. . 3 |- ( ph -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( i e. ( 1..^ M ) \/ i = M ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( P ` k ) = ( P ` i ) )
14	13	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` k ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
15	14	rspccv 3306	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( i e. ( 1..^ M ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
17	1, 16	iccpartigtl 41359	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) )
18	15, 17	syl11 33	. . . . 5 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( ph -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
19	1, 16	iccpartlt 41360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( i = M /\ ph ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( i = M -> ( P ` i ) = ( P ` M ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( i = M /\ ph ) -> ( P ` i ) = ( P ` M ) )
23	20, 22	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( i = M /\ ph ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
24	23	ex 450	. . . . 5 |- ( i = M -> ( ph -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
25	18, 24	jaoi 394	. . . 4 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) \/ i = M ) -> ( ph -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
26	25	com12 32	. . 3 |- ( ph -> ( ( i e. ( 1..^ M ) \/ i = M ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
27	12, 26	sylbid 230	. 2 |- ( ph -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
28	27	ralrimiv 2965	1 |- ( ph -> A. i e. ( 1 ... M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  RePartciccp 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-iccp 41350

This theorem is referenced by:  iccpartgel  41365