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Theorem iccpartigtl 41359
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m |- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
Assertion
Ref Expression
iccpartigtl |- ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i
Proof of Theorem iccpartigtl
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4076 . . . 4 |- A. i e. (/) ( P ` 0 ) < ( P ` i )
2 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( M = 1 -> ( 1..^ M ) = ( 1..^ 1 ) )
3 fzo0 12492 . . . . . 6 |- ( 1..^ 1 ) = (/)
42, 3syl6eq 2672 . . . . 5 |- ( M = 1 -> ( 1..^ M ) = (/) )
54raleqdv 3144 . . . 4 |- ( M = 1 -> ( A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) <-> A. i e. (/) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
61, 5mpbiri 248 . . 3 |- ( M = 1 -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
76a1d 25 . 2 |- ( M = 1 -> ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
8 iccpartgtprec.m . . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
9 iccpartgtprec.p . . . . . 6 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
108nnnn0d 11351 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
11 0elfz 12436 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... M ) )
1210, 11syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
138, 9, 12iccpartxr 41355 . . . . 5 |- ( ph -> ( P ` 0 ) e. RR* )
1413adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> ( P ` 0 ) e. RR* )
15 elxr 11950 . . . . 5 |- ( ( P ` 0 ) e. RR* <-> ( ( P ` 0 ) e. RR \/ ( P ` 0 ) = +oo \/ ( P ` 0 ) = -oo ) )
16 0zd 11389 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> 0 e. ZZ )
17 elfzouz 12474 . . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
18 0p1e1 11132 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
1918fveq2i 6194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
2017, 19syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
22 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 0 -> ( P ` k ) = ( P ` 0 ) )
2322eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( P ` 0 ) = ( P ` k ) )
2423eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( ( P ` 0 ) e. RR <-> ( P ` k ) e. RR ) )
2524biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` 0 ) e. RR -> ( k = 0 -> ( P ` k ) e. RR ) )
2625ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( k = 0 -> ( P ` k ) e. RR ) )
278adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1..^ M ) /\ ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) ) ) -> M e. NN )
289adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1..^ M ) /\ ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
29 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 0 ... i ) <-> ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) )
30 elfzo2 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
31 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) /\ ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) ) -> k e. NN0 )
32 simpr2 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) /\ ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) ) -> M e. ZZ )
33 nn0ge0 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. NN0 -> 0 <_ i )
34 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> 0 e. RR )
35 eluzelre 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> i e. RR )
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> i e. RR )
37 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
39 lelttr 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( 0 e. RR /\ i e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 0 <_ i /\ i < M ) -> 0 < M ) )
4034, 36, 38, 39syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ i /\ i < M ) -> 0 < M ) )
4140expcomd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( i < M -> ( 0 <_ i -> 0 < M ) ) )
42413impia 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( 0 <_ i -> 0 < M ) )
4333, 42syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. NN0 -> ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> 0 < M ) )
44433ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) -> ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> 0 < M ) )
4544imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) /\ ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) ) -> 0 < M )
46 elnnz 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
4732, 45, 46sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) /\ ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) ) -> M e. NN )
48 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
4948ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) /\ ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) ) -> k e. RR )
50 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) -> i e. RR )
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) /\ ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) ) -> i e. RR )
5338adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) /\ ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) ) -> M e. RR )
54 lelttr 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. RR /\ i e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( k <_ i /\ i < M ) -> k < M ) )
5554expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( k e. RR /\ i e. RR /\ M e. RR ) -> ( k <_ i -> ( i < M -> k < M ) ) )
5649, 52, 53, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) /\ ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) ) -> ( k <_ i -> ( i < M -> k < M ) ) )
5756exp31 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( M e. ZZ -> ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( k <_ i -> ( i < M -> k < M ) ) ) ) )
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( M e. ZZ -> ( k <_ i -> ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( i < M -> k < M ) ) ) ) )
5958com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( M e. ZZ -> ( i < M -> ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( k <_ i -> k < M ) ) ) ) )
60593imp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( k <_ i -> k < M ) ) )
6160expdcom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. NN0 -> ( i e. NN0 -> ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( k <_ i -> k < M ) ) ) )
6261com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. NN0 -> ( i e. NN0 -> ( k <_ i -> ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> k < M ) ) ) )
63623imp1 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) /\ ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) ) -> k < M )
64 elfzo0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( 0..^ M ) <-> ( k e. NN0 /\ M e. NN /\ k < M ) )
6531, 47, 63, 64syl3anbrc 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) /\ ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
6665ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) -> ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
6730, 66syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. NN0 /\ i e. NN0 /\ k <_ i ) -> ( i e. ( 1..^ M ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
6829, 67sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 0 ... i ) -> ( i e. ( 1..^ M ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) -> ( i e. ( 1..^ M ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
7069impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
71 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) -> k =/= 0 )
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) ) -> k =/= 0 )
73 fzo1fzo0n0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( k e. ( 0..^ M ) /\ k =/= 0 ) )
7470, 72, 73sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1..^ M ) /\ ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
7627, 28, 75iccpartipre 41357 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1..^ M ) /\ ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
7776exp32 631 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( i e. ( 1..^ M ) -> ( ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) -> ( P ` k ) e. RR ) ) )
7877ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> ( i e. ( 1..^ M ) -> ( ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) -> ( P ` k ) e. RR ) ) )
7978imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( ( k e. ( 0 ... i ) /\ k =/= 0 ) -> ( P ` k ) e. RR ) )
8079expdimp 453 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( k =/= 0 -> ( P ` k ) e. RR ) )
8126, 80pm2.61dne 2880 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
828adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> M e. NN )
8382ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. NN )
849adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> P e. (RePart ` M ) )
8584ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
86 elfzoelz 12470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ZZ )
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> i e. ZZ )
88 fzoval 12471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> ( 0..^ i ) = ( 0 ... ( i - 1 ) ) )
8988eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> ( 0 ... ( i - 1 ) ) = ( 0..^ i ) )
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( 0 ... ( i - 1 ) ) = ( 0..^ i ) )
9190eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) <-> k e. ( 0..^ i ) ) )
92 elfzouz2 12484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
94 fzoss2 12496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` i ) -> ( 0..^ i ) C_ ( 0..^ M ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( 0..^ i ) C_ ( 0..^ M ) )
9695sseld 3602 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( k e. ( 0..^ i ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
9791, 96sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
9897imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
99 iccpartimp 41353 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
10083, 85, 98, 99syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
101100simprd 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) /\ k e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
10216, 21, 81, 101smonoord 41341 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
103102ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( ( P ` 0 ) e. RR /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
104103ex 450 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) e. RR -> ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
105 lbfzo0 12507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> M e. NN )
1068, 105sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
1078, 9, 1063jca 1242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) )
108107ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) )
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) )
110 iccpartimp 41353 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ 0 e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` 0 ) < ( P ` ( 0 + 1 ) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` 0 ) < ( P ` ( 0 + 1 ) ) ) )
112111simprd 479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` ( 0 + 1 ) ) )
113 breq1 4656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` 0 ) = +oo -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` ( 0 + 1 ) ) <-> +oo < ( P ` ( 0 + 1 ) ) ) )
114113adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` ( 0 + 1 ) ) <-> +oo < ( P ` ( 0 + 1 ) ) ) )
115114adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` ( 0 + 1 ) ) <-> +oo < ( P ` ( 0 + 1 ) ) ) )
116112, 115mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> +oo < ( P ` ( 0 + 1 ) ) )
1178ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> M e. NN )
118117adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> M e. NN )
1199ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
120119adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
121 1nn0 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. NN0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> 1 e. NN0 )
123 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
124 nnge1 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
125122, 123, 1243jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> ( 1 e. NN0 /\ M e. NN0 /\ 1 <_ M ) )
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 e. NN0 /\ M e. NN0 /\ 1 <_ M ) )
127 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( 0 ... M ) <-> ( 1 e. NN0 /\ M e. NN0 /\ 1 <_ M ) )
128126, 127sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. ( 0 ... M ) )
12918, 128syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
130129ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> ( 0 + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
131130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( 0 + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
132118, 120, 131iccpartxr 41355 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` ( 0 + 1 ) ) e. RR* )
133 pnfnlt 11962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` ( 0 + 1 ) ) e. RR* -> -. +oo < ( P ` ( 0 + 1 ) ) )
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> -. +oo < ( P ` ( 0 + 1 ) ) )
135116, 134pm2.21dd 186 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
136135ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( ( P ` 0 ) = +oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
137136ex 450 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) = +oo -> ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
1388adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> M e. NN )
1399adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
140 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> i e. ( 1..^ M ) )
141138, 139, 140iccpartipre 41357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
142 mnflt 11957 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` i ) e. RR -> -oo < ( P ` i ) )
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> -oo < ( P ` i ) )
144143ralrimiva 2966 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) -oo < ( P ` i ) )
145144ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P ` 0 ) = -oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> A. i e. ( 1..^ M ) -oo < ( P ` i ) )
146 breq1 4656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` 0 ) = -oo -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` i ) <-> -oo < ( P ` i ) ) )
147146adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` 0 ) = -oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` i ) <-> -oo < ( P ` i ) ) )
148147ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P ` 0 ) = -oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> ( A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) <-> A. i e. ( 1..^ M ) -oo < ( P ` i ) ) )
149145, 148mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ( P ` 0 ) = -oo /\ ( ph /\ -. M = 1 ) ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
150149ex 450 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) = -oo -> ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
151104, 137, 1503jaoi 1391 . . . . 5 |- ( ( ( P ` 0 ) e. RR \/ ( P ` 0 ) = +oo \/ ( P ` 0 ) = -oo ) -> ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
15215, 151sylbi 207 . . . 4 |- ( ( P ` 0 ) e. RR* -> ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
15314, 152mpcom 38 . . 3 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
154153expcom 451 . 2 |- ( -. M = 1 -> ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) ) )
1557, 154pm2.61i 176 1 |- ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` i ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  RePartciccp 41349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-iccp 41350
This theorem is referenced by:  iccpartlt  41360  iccpartgtl  41362  iccpartgt  41363
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