Theorem elnnuz 11724

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2693	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   e. wcel 1990   ` cfv 5888   1c1 9937   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  11730  uznnssnn  11735  uzsubsubfz1  12364  elfz1end  12371  fznn  12408  prednn  12462  fzo1fzo0n0  12518  elfzonlteqm1  12543  nnsinds  12787  faclbnd  13077  bcn1  13100  fz1isolem  13245  relexpsucnnr  13765  geoisum1  14610  geoisum1c  14611  fprodfac  14703  rpnnen2lem5  14947  rpnnen2lem12  14954  dvdsfac  15048  prmind2  15398  prmunb  15618  prmop1  15742  fvprmselelfz  15748  prmgaplem7  15761  structfn  15874  setsstruct  15898  gexcl3  18002  cayhamlem1  20671  1stckgenlem  21356  radcnvlem2  24168  dvradcnv  24175  logfac  24347  logtayllem  24405  logtayl  24406  leibpi  24669  prmorcht  24904  pclogsum  24940  bpos1  25008  2lgslem1a  25116  2sqlem10  25153  axlowdimlem13  25834  axlowdim1  25839  opsqrlem5  29003  iuninc  29379  esumfsupre  30133  esumcvg  30148  ballotlemfp1  30553  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlem4  30560  ballotlemic  30568  ballotlem1c  30569  cvmliftlem10  31276  climuzcnv  31565  bcprod  31624  faclim  31632  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  poimirlem30  33439  mblfinlem2  33447  seqpo  33543  incsequz  33544  incsequz2  33545  elnnrabdioph  37371  expdiophlem1  37588  fmuldfeq  39815  fmul01lt1  39818  stoweidlem3  40220  stoweidlem26  40243  stoweidlem42  40259  stoweidlem48  40265  wallispilem3  40284  wallispilem4  40285  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem12  40302  iccpartgtl  41362  fmtno4prmfac  41484  altgsumbcALT  42131