Theorem iccpartgt 41363

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the bounds are strictly ordered. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartgt	|- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) A. j e. ( 0 ... M ) ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )

Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i   j, M   P, j, i   ph, j

Proof of Theorem iccpartgt

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
3		elnn0uz 11725	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 <-> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		fzpred 12389	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) )
7		0p1e1 11132	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
8	7	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M )
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M ) )
10	9	uneq2d 3767	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) )
11	6, 10	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( 0 ... M ) <-> i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) ) )
13		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) <-> ( i e. { 0 } \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
14		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( i e. { 0 } <-> i = 0 )
15	14	orbi1i 542	. . . . . . 7 |- ( ( i e. { 0 } \/ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
16	13, 15	bitri 264	. . . . . 6 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
17		fzisfzounsn 12580	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... M ) = ( ( 0..^ M ) u. { M } ) )
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( ( 0..^ M ) u. { M } ) )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) ) )
20		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j e. { M } ) )
21		velsn 4193	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { M } <-> j = M )
22	21	orbi2i 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j e. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) )
23	20, 22	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) )
24	19, 23	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) ) )
25		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j e. ( 0..^ M ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> 0 < j )
27	26	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j =/= 0 )
28		fzo1fzo0n0 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 1..^ M ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) /\ j =/= 0 ) )
29	25, 27, 28	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j e. ( 1..^ M ) )
30		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
31	1, 30	iccpartigtl 41359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = j -> ( P ` k ) = ( P ` j ) )
33	32	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = j -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` k ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
34	33	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 1..^ M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
35	29, 31, 34	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
36	35	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( j e. ( 0..^ M ) -> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
37	36	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ph ) -> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
38		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = 0 -> ( i < j <-> 0 < j ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = 0 -> ( P ` i ) = ( P ` 0 ) )
40	39	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = 0 -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
41	38, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = 0 -> ( ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) <-> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
42	37, 41	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 0 -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ph ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
43	42	expd 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( j e. ( 0..^ M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
44	43	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
45	1, 30	iccpartlt 41360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = M -> ( P ` j ) = ( P ` M ) )
47	39, 46	breqan12rd 4670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) ) )
48	45, 47	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ph -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
49	48	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
50	49	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = M -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
51	44, 50	jaoi 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
52	51	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
53		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ZZ )
54	53	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> i e. ZZ )
55	53	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
56	55	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
57		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ZZ )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> j e. ZZ )
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> i < j )
60	57, 53	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
62		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
64	59, 63	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) <_ j )
65	56, 58, 64	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
67		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
68	66, 67	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
69	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. NN )
70	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
71		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> 1 e. ZZ )
72		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( i ... j ) -> k e. ZZ )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ZZ )
74		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 <_ i )
75		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... j ) -> i <_ k )
76		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> 1 e. RR )
77		elfzel1 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( i ... j ) -> i e. ZZ )
78	77	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> i e. RR )
79	72	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> k e. RR )
80		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ i e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
81	76, 78, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... j ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
82	75, 81	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( i ... j ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) )
83	74, 82	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( k e. ( i ... j ) -> 1 <_ k ) )
84	83	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( k e. ( i ... j ) -> 1 <_ k ) )
85	84	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> 1 <_ k )
86		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
87	71, 73, 85, 86	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> M e. ZZ )
89	88	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> M e. ZZ )
90	89	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. ZZ )
91	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. RR )
92	57	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. RR )
93	92	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> j e. RR )
94	69	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. RR )
95		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( i ... j ) -> k <_ j )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k <_ j )
97		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j < M )
98	97	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> j < M )
99	91, 93, 94, 96, 98	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k < M )
100		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ k < M ) )
101	87, 90, 99, 100	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
102	69, 70, 101	iccpartipre 41357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
103	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> M e. NN )
104	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
105	57	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> j e. ZZ )
106		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ZZ -> ( i..^ j ) = ( i ... ( j - 1 ) ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i..^ j ) = ( i ... ( j - 1 ) ) )
108		elfzo0le 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j <_ M )
109		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 <_ 1
110		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 e. RR )
111		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 e. RR )
112	53	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. RR )
113		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ i e. RR ) -> ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ i ) -> 0 <_ i ) )
114	110, 111, 112, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ i ) -> 0 <_ i ) )
115	109, 114	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( 1 <_ i -> 0 <_ i ) )
116	74, 115	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 <_ i )
117	108, 116	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) )
119		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> 0 e. ZZ )
120		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
121	119, 120	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
122	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
123		ssfzo12bi 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ i < j ) -> ( ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) ) )
124	61, 122, 59, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) ) )
125	118, 124	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) )
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) )
127	107, 126	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0..^ M ) )
128	127	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
129		iccpartimp 41353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
130	103, 104, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
131	130	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
132	54, 68, 102, 131	smonoord 41341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( P ` i ) < ( P ` j ) )
133	132	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( ph -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
134	133	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
135	134	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
136		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
138	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> M e. ZZ )
139		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i < M )
140		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
141	137, 138, 139, 140	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i e. ( 1..^ M ) )
142	1, 30	iccpartiltu 41358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) )
143		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> ( P ` k ) = ( P ` i ) )
144	143	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = i -> ( ( P ` k ) < ( P ` M ) <-> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
145	144	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
146	141, 142, 145	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
147	146	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( i < M -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
148	147	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) -> ( i < M -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
149	148	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
151		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = M -> ( i < j <-> i < M ) )
152	151	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < j ) <-> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) ) )
153	46	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
154	150, 152, 153	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < j ) -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
155	154	exp4c 636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = M -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
156	135, 155	jaoi 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
157	156	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
158	52, 157	jaoi 394	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
159	158	com13 88	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
160	24, 159	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
161	160	com3r 87	. . . . . 6 |- ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
162	16, 161	sylbi 207	. . . . 5 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
163	162	com12 32	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
164	12, 163	sylbid 230	. . 3 |- ( ph -> ( i e. ( 0 ... M ) -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
165	164	imp32 449	. 2 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
166	165	ralrimivva 2971	1 |- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) A. j e. ( 0 ... M ) ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  RePartciccp 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-iccp 41350

This theorem is referenced by:  icceuelpartlem  41371  iccpartnel  41374