Theorem inaghl 25731

Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from B. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	|- P = ( Base ` G )
isinag.i	|- I = (Itv ` G )
isinag.k	|- K = (hlG ` G )
isinag.x	|- ( ph -> X e. P )
isinag.a	|- ( ph -> A e. P )
isinag.b	|- ( ph -> B e. P )
isinag.c	|- ( ph -> C e. P )
inagswap.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
inagswap.1	|- ( ph -> X (inA ` G ) <" A B C "> )
inaghl.d	|- ( ph -> D e. P )
inaghl.f	|- ( ph -> F e. P )
inaghl.y	|- ( ph -> Y e. P )
inaghl.1	|- ( ph -> D ( K ` B ) A )
inaghl.2	|- ( ph -> F ( K ` B ) C )
inaghl.3	|- ( ph -> Y ( K ` B ) X )

Assertion

Ref	Expression
inaghl	|- ( ph -> Y (inA ` G ) <" D B F "> )

Proof of Theorem inaghl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinag.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		isinag.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
3		isinag.k	. . . . 5 |- K = (hlG ` G )
4		inaghl.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. P )
5		isinag.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. P )
6		isinag.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
7		inagswap.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
8		inaghl.1	. . . . 5 |- ( ph -> D ( K ` B ) A )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 25500	. . . 4 |- ( ph -> D =/= B )
10		inaghl.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. P )
11		isinag.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
12		inaghl.2	. . . . 5 |- ( ph -> F ( K ` B ) C )
13	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlne1 25500	. . . 4 |- ( ph -> F =/= B )
14		inaghl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. P )
15		isinag.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. P )
16		inaghl.3	. . . . 5 |- ( ph -> Y ( K ` B ) X )
17	1, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16	hlne1 25500	. . . 4 |- ( ph -> Y =/= B )
18	9, 13, 17	3jca 1242	. . 3 |- ( ph -> ( D =/= B /\ F =/= B /\ Y =/= B ) )
19	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. P )
20		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( y e. ( D I F ) <-> B e. ( D I F ) ) )
21		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( y = B <-> B = B ) )
22		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( y ( K ` B ) Y <-> B ( K ` B ) Y ) )
23	21, 22	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) <-> ( B = B \/ B ( K ` B ) Y ) ) )
24	20, 23	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) <-> ( B e. ( D I F ) /\ ( B = B \/ B ( K ` B ) Y ) ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) /\ y = B ) -> ( ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) <-> ( B e. ( D I F ) /\ ( B = B \/ B ( K ` B ) Y ) ) ) )
26	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> A e. P )
27	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> D e. P )
28	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> F e. P )
29	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> G e. TarskiG )
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomd 25499	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A ( K ` B ) D )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> A ( K ` B ) D )
32		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
33	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> C e. P )
34	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlcomd 25499	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C ( K ` B ) F )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> C ( K ` B ) F )
36		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. ( A I C ) )
37	1, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. ( C I A ) )
38	1, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37	btwnhl 25509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. ( F I A ) )
39	1, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38	tgbtwncom 25383	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. ( A I F ) )
40	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39	btwnhl 25509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. ( D I F ) )
41		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B = B )
42	41	orcd 407	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> ( B = B \/ B ( K ` B ) Y ) )
43	40, 42	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> ( B e. ( D I F ) /\ ( B = B \/ B ( K ` B ) Y ) ) )
44	19, 25, 43	rspcedvd 3317	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
45		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> x e. P )
46		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) /\ y = x ) -> y = x )
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) /\ y = x ) -> ( y e. ( D I F ) <-> x e. ( D I F ) ) )
48	46	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) /\ y = x ) -> ( y = B <-> x = B ) )
49	46	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) /\ y = x ) -> ( y ( K ` B ) Y <-> x ( K ` B ) Y ) )
50	48, 49	orbi12d 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) /\ y = x ) -> ( ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) <-> ( x = B \/ x ( K ` B ) Y ) ) )
51	47, 50	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) /\ y = x ) -> ( ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) <-> ( x e. ( D I F ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) Y ) ) ) )
52		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> x = B )
53	5	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> A e. P )
54	4	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> D e. P )
55	10	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> F e. P )
56	7	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> G e. TarskiG )
57	6	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> B e. P )
58	30	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> A ( K ` B ) D )
59	11	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> C e. P )
60	34	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> C ( K ` B ) F )
61		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> x e. ( A I C ) )
62	1, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> x e. ( C I A ) )
63	52, 62	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> B e. ( C I A ) )
64	1, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63	btwnhl 25509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> B e. ( F I A ) )
65	1, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> B e. ( A I F ) )
66	1, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65	btwnhl 25509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> B e. ( D I F ) )
67	52, 66	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> x e. ( D I F ) )
68	52	orcd 407	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> ( x = B \/ x ( K ` B ) Y ) )
69	67, 68	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> ( x e. ( D I F ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) Y ) ) )
70	45, 51, 69	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x = B ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
71	7	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> G e. TarskiG )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> G e. TarskiG )
73		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> z e. P )
74	6	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> B e. P )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> B e. P )
76	11	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> C e. P )
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> C e. P )
78	4	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> D e. P )
79	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> D e. P )
80	10	ad6antr 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> F e. P )
81		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> x e. P )
82	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> x e. P )
83		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> x ( K ` B ) z )
84	1, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83	hlne2 25501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> z =/= B )
85	34	ad6antr 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> C ( K ` B ) F )
86		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> z e. ( C I D ) )
87	1, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> z e. ( D I C ) )
88	1, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87	hlpasch 25648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> E. y e. P ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) )
89		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> y e. ( D I F ) )
90		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> y e. P )
91	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> z e. P )
92	14	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> Y e. P )
93	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> G e. TarskiG )
94	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> B e. P )
95		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> z ( K ` B ) y )
96	1, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95	hlcomd 25499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> y ( K ` B ) z )
97	81	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> x e. P )
98	15	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> X e. P )
99	16	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> Y ( K ` B ) X )
100		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> x ( K ` B ) X )
101	1, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100	hlcomd 25499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> X ( K ` B ) x )
102	1, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101	hltr 25505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> Y ( K ` B ) x )
103		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) )
104	103	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> x ( K ` B ) z )
105	1, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104	hltr 25505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> Y ( K ` B ) z )
106	1, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105	hlcomd 25499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> z ( K ` B ) Y )
107	1, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106	hltr 25505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> y ( K ` B ) Y )
108	107	olcd 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) )
109	89, 108	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) ) -> ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
110	109	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) /\ y e. P ) -> ( ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) -> ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) ) )
111	110	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> ( E. y e. P ( z ( K ` B ) y /\ y e. ( D I F ) ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) ) )
112	88, 111	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) /\ z e. P ) /\ ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
113	5	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> A e. P )
114	15	ad4antr 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> X e. P )
115		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> x ( K ` B ) X )
116	1, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115	hlne1 25500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> x =/= B )
117	30	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> A ( K ` B ) D )
118		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> x e. ( A I C ) )
119	1, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> x e. ( C I A ) )
120	1, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119	hlpasch 25648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> E. z e. P ( x ( K ` B ) z /\ z e. ( C I D ) ) )
121	112, 120	r19.29a 3078	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ x ( K ` B ) X ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
122	70, 121	jaodan 826	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ x e. ( A I C ) ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) X ) ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
123	122	anasss 679	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) /\ x e. P ) /\ ( x e. ( A I C ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) X ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
124		inagswap.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X (inA ` G ) <" A B C "> )
125	1, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7	isinag 25729	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X (inA ` G ) <" A B C "> <-> ( ( A =/= B /\ C =/= B /\ X =/= B ) /\ E. x e. P ( x e. ( A I C ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) X ) ) ) ) )
126	124, 125	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A =/= B /\ C =/= B /\ X =/= B ) /\ E. x e. P ( x e. ( A I C ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) X ) ) ) )
127	126	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. P ( x e. ( A I C ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) X ) ) )
128	127	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) -> E. x e. P ( x e. ( A I C ) /\ ( x = B \/ x ( K ` B ) X ) ) )
129	123, 128	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. B e. ( A I C ) ) -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
130	44, 129	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ph -> E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) )
131	18, 130	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( ( D =/= B /\ F =/= B /\ Y =/= B ) /\ E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) ) )
132	1, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7	isinag 25729	. 2 |- ( ph -> ( Y (inA ` G ) <" D B F "> <-> ( ( D =/= B /\ F =/= B /\ Y =/= B ) /\ E. y e. P ( y e. ( D I F ) /\ ( y = B \/ y ( K ` B ) Y ) ) ) ) )
133	131, 132	mpbird 247	1 |- ( ph -> Y (inA ` G ) <" D B F "> )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <"cs3 13587   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  hlGchlg 25495  inAcinag 25726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkgld 25351  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-hlg 25496  df-mir 25548  df-rag 25589  df-perpg 25591  df-inag 25728

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