Theorem infi 8184

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
infi	|- ( A e. Fin -> ( A i^i B ) e. Fin )

Proof of Theorem infi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. 2 |- ( A i^i B ) C_ A
2		ssfi 8180	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
3	1, 2	mpan2 707	1 |- ( A e. Fin -> ( A i^i B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  rabfi  8185  resfnfinfin  8246  resfifsupp  8303  fin23lem22  9149  pmatcoe1fsupp  20506  trlsegvdeglem6  27085  gsummptres  29784  indsumin  30084  eulerpartlemt  30433  ballotlemgun  30586  hgt750lemd  30726  fourierdlem50  40373  fourierdlem71  40394  fourierdlem76  40399  fourierdlem80  40403  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  sge0split  40626