Theorem fourierdlem76 40399

Description: Continuity of O and its limits with respect to the S partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem76.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem76.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem76.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem76.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem76.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem76.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem76.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
fourierdlem76.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem76.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem76.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem76.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem76.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem76.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem76.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem76.o	|- O = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem76.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem76.t	|- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
fourierdlem76.n	|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
fourierdlem76.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem76.d	|- D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem76.e	|- E = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem76.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem76

|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   L, s   i, M, j   m, M, p, i   f, N   Q, s   R, s   S, f   S, s   T, f   i, V, j, s   V, p   i, X, j, s   m, X, p   ch, s   ph, f   ph, i, j, s

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   ch( f, i, j, m, p)   A( f, i, j, m, p)   B( f, i, j, m, p)   C( f, i, j, m, p)   D( f, i, j, m, s, p)   P( f, i, j, m, s, p)   Q( f, i, j, m, p)   R( f, i, j, m, p)   S( i, j, m, p)   T( i, j, m, s, p)   E( f, i, j, m, s, p)   F( f, i, j, m, p)   L( f, i, j, m, p)   M( f, s)   N( i, j, m, s, p)   O( f, i, j, m, s, p)   V( f, m)   X( f)

Proof of Theorem fourierdlem76

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem76.ch	. . 3 |- ( ch <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
5		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ph )
6	1, 5	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ph )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ph )
8		ioossicc 12259	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
9		fourierdlem76.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
10	9	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR* )
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> A e. RR* )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A e. RR* )
13		fourierdlem76.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR )
14	13	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
15	6, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> B e. RR* )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> B e. RR* )
17		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> s e. RR )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
19	6, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> A e. RR )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A e. RR )
21		fourierdlem76.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
22		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { A , B } e. Fin
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
24		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
25		fourierdlem76.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
26	25	rnmptfi 39351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
27		infi 8184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
28	24, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
29		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin ) -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
30	23, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
31	21, 30	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T e. Fin )
32		prssg 4350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
33	9, 13, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
34	9, 13, 33	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { A , B } C_ RR )
35		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A (,) B )
36		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A (,) B ) C_ RR
37	35, 36	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR )
39	34, 38	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ RR )
40	21, 39	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T C_ RR )
41		fourierdlem76.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
42		fourierdlem76.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( ( # ` T ) - 1 )
43	31, 40, 41, 42	fourierdlem36 40360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
45		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
46		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T -> S : ( 0 ... N ) --> T )
47	44, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> S : ( 0 ... N ) --> T )
48	6, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> T C_ RR )
49	47, 48	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
51		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0..^ N ) )
52	1, 51	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> j e. ( 0..^ N ) )
53		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ( 0 ... N ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> j e. ( 0 ... N ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
56	50, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
57	43, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> T )
58		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S : ( 0 ... N ) --> T -> ran S C_ T )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ran S C_ T )
60	9	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A <_ A )
61		fourierdlem76.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A < B )
62	9, 13, 61	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A <_ B )
63	9, 13, 9, 60, 62	eliccd 39726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
64	13	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B <_ B )
65	9, 13, 13, 62, 64	eliccd 39726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
66		prssg 4350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A e. ( A [,] B ) /\ B e. ( A [,] B ) ) <-> { A , B } C_ ( A [,] B ) ) )
67	9, 13, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( A e. ( A [,] B ) /\ B e. ( A [,] B ) ) <-> { A , B } C_ ( A [,] B ) ) )
68	63, 65, 67	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> { A , B } C_ ( A [,] B ) )
69	35, 8	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A [,] B )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A [,] B ) )
71	68, 70	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
72	21, 71	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T C_ ( A [,] B ) )
73	59, 72	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ran S C_ ( A [,] B ) )
74	6, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ran S C_ ( A [,] B ) )
75		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S : ( 0 ... N ) --> RR -> Fun S )
76	49, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> Fun S )
77		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S : ( 0 ... N ) --> RR -> dom S = ( 0 ... N ) )
78	49, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> dom S = ( 0 ... N ) )
79	78	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( 0 ... N ) = dom S )
80	54, 79	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> j e. dom S )
81		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun S /\ j e. dom S ) -> ( S ` j ) e. ran S )
82	76, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( S ` j ) e. ran S )
83	74, 82	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( S ` j ) e. ( A [,] B ) )
84		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( S ` j ) e. ( A [,] B ) ) -> A <_ ( S ` j ) )
85	11, 15, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> A <_ ( S ` j ) )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A <_ ( S ` j ) )
87	56	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) e. RR* )
88		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
89	52, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
90	49, 89	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
91	90	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* )
93		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
94		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S ` j ) e. RR* /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) < s )
95	87, 92, 93, 94	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) < s )
96	20, 56, 18, 86, 95	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A < s )
97	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
98	6, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> B e. RR )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
100		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S ` j ) e. RR* /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s < ( S ` ( j + 1 ) ) )
101	87, 92, 93, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s < ( S ` ( j + 1 ) ) )
102	89, 79	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( j + 1 ) e. dom S )
103		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun S /\ ( j + 1 ) e. dom S ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ran S )
104	76, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ran S )
105	74, 104	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) )
106		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B )
107	11, 15, 105, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B )
109	18, 97, 99, 101, 108	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s < B )
110	12, 16, 18, 96, 109	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
111	8, 110	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
112		fourierdlem76.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> F : RR --> RR )
114		fourierdlem76.xre	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> X e. RR )
116	9, 13	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
117	116	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. RR )
118	115, 117	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
119	113, 118	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
120	7, 111, 119	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
121	120	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
122		fourierdlem76.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
123	122	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
124	6, 123	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ch -> C e. CC )
125	124	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> C e. CC )
126	121, 125	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
127		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ RR
128	127	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ RR )
129	128	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
130	129	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. CC )
131		nne 2798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. s =/= 0 <-> s = 0 )
132	131	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. s =/= 0 -> s = 0 )
133	132	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( -. s =/= 0 -> 0 = s )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> 0 = s )
135		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> s e. ( A [,] B ) )
137	134, 136	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
138		fourierdlem76.n0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
139	138	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
140	137, 139	condan 835	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s =/= 0 )
141	7, 111, 140	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s =/= 0 )
142	126, 130, 141	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) e. CC )
143		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 e. CC )
144	130	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
145	144	sincld 14860	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
146	143, 145	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
147	17	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> s e. CC )
148	147	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. CC )
149	148	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
150	149	sincld 14860	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
151		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
152	151	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 =/= 0 )
153		fourierdlem76.ab	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
154	6, 153	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
155	154	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
156	155, 111	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
157		fourierdlem44 40368	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
158	156, 141, 157	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
159	143, 150, 152, 158	mulne0d 10679	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
160	130, 146, 159	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. CC )
161		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) )
162		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s )
163	141	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. s = 0 )
164		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
165	163, 164	sylnibr 319	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. s e. { 0 } )
166	130, 165	eldifd 3585	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
167		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
168		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C )
169		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
170	169	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
171		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- pi e. RR
172	171	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -u pi e. RR
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -u pi e. RR )
174	173, 114	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( -u pi + X ) e. RR )
175	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> pi e. RR )
176	175, 114	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( pi + X ) e. RR )
177	174, 176	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
179		fourierdlem76.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
180		fourierdlem76.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. NN )
181		fourierdlem76.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
182	179, 180, 181	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
184	183, 170	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
185	178, 184	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
186	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
187	185, 186	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
188	25	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
189	170, 187, 188	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
190	189, 187	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
191	190	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
192	191	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
193	1, 192	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR )
194		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( V ` i ) = ( V ` j ) )
195	194	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = j -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` j ) - X ) )
196	195	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
197	25, 196	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
199		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
200	199	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
201	200	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
202		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
203	202	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
204	183, 203	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
205	178, 204	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
206	205, 186	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
207	198, 201, 203, 206	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
208	207, 206	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
209	208	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
211	1, 210	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
212	179	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
213	180, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
214	181, 213	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
215	214	simprrd 797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
216	215	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
217	185, 205, 186, 216	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) < ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
218	217, 189, 207	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
219	218	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
220	219	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
221	1, 220	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
222	1	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
223	222	simplrd 793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> i e. ( 0..^ M ) )
224	6, 223, 185	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` i ) e. RR )
225	224	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` i ) e. RR* )
226	225	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
227	6, 223, 205	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
228	227	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
229	228	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
230	6, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> X e. RR )
231	230	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
232		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR )
233	232	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
234	231, 233	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
235	6, 223, 189	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
236	235	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) = ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) )
237	230	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> X e. CC )
238	224	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( V ` i ) e. CC )
239	237, 238	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) = ( V ` i ) )
240	236, 239	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
242	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
243	193	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR* )
244	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
245	211	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
246	245	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
247		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
248		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
249	244, 246, 247, 248	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
250	242, 233, 231, 249	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + s ) )
251	241, 250	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) < ( X + s ) )
252	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
253		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
254	244, 246, 247, 253	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
255	233, 252, 231, 254	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
256	6, 223, 207	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
257	256	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
258	227	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
259	237, 258	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
260	257, 259	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
261	260	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
262	255, 261	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
263	226, 229, 234, 251, 262	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
264		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
265	263, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
266	265	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
267	266	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
268		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
270		fourierdlem76.fcn	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
271	6, 223, 270	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
272		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
273	272	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
274	269, 271, 273, 237, 263	fourierdlem23 40347	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
275	267, 274	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
276	6, 112	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> F : RR --> RR )
277		ioossre 12235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
278	277	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
279		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
280		ioossre 12235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
281	280	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
282	233, 254	ltned 10173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) )
283		fourierdlem76.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
284	6, 223, 283	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
285	260	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
286	285	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
287	284, 286	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
288	211	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. CC )
289	276, 230, 278, 279, 263, 281, 282, 287, 288	fourierdlem53 40376	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> L e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
290	49, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( S ` j ) e. RR )
291		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
292		zre 11381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> j e. RR )
293	52, 291, 292	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> j e. RR )
294	293	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> j < ( j + 1 ) )
295		isorel 6576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( j + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
296	44, 54, 89, 295	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( j < ( j + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
297	294, 296	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
298	1	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
299		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
300		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
301	193, 211, 221, 275, 289, 290, 90, 297, 298, 299, 300	fourierdlem33 40357	. . . . . . . 8 |- ( ch -> if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
302		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
303		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ s = ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> s = ( S ` ( j + 1 ) ) )
304	303	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ s = ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( X + s ) = ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
305	304	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ s = ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
306	243	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
307	245	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
308	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
309	193, 211, 290, 90, 297, 298	fourierdlem10 40334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) <_ ( S ` j ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
310	309	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( Q ` i ) <_ ( S ` j ) )
311	193, 290, 90, 310, 297	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
312	311	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
313	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
314	309	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
315	314	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
316		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) )
317	316	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) =/= ( S ` ( j + 1 ) ) )
318	317	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) =/= ( S ` ( j + 1 ) ) )
319	308, 313, 315, 318	leneltd 10191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
320	306, 307, 308, 312, 319	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
321	230, 90	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
322	276, 321	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
323	322	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
324	302, 305, 320, 323	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
325	324	ifeq2da 4117	. . . . . . . 8 |- ( ch -> if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
326	298	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
327	326	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
328	301, 325, 327	3eltr3d 2715	. . . . . . 7 |- ( ch -> if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
329		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
330	128, 329	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ CC )
331	90	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. CC )
332	168, 330, 124, 331	constlimc 39856	. . . . . . 7 |- ( ch -> C e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
333	167, 168, 161, 121, 125, 328, 332	sublimc 39884	. . . . . 6 |- ( ch -> ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
334	330, 162, 331	idlimc 39858	. . . . . 6 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
335	6, 105	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) )
336		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( s e. ( A [,] B ) <-> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) )
337	336	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) <-> ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) ) )
338		neeq1 2856	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( s =/= 0 <-> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) )
339	337, 338	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s =/= 0 ) <-> ( ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) ) )
340	339, 140	vtoclg 3266	. . . . . . 7 |- ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR -> ( ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) )
341	90, 335, 340	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 )
342	161, 162, 2, 126, 166, 333, 334, 341, 141	divlimc 39888	. . . . 5 |- ( ch -> ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
343		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
344	143, 150	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
345	159	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 )
346		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
347	346	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 e. RR )
348	17	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
349	348	resincld 14873	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
350	349	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
351	347, 350	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
352		elsng 4191	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 ) )
353	351, 352	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 ) )
354	345, 353	mtbird 315	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } )
355	344, 354	eldifd 3585	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
356		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 )
357		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) )
358		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( ch -> 2 e. CC )
359	356, 330, 358, 331	constlimc 39856	. . . . . . 7 |- ( ch -> 2 e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
360	348	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( s / 2 ) =/= ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
361		recn 10026	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. CC )
362	361	sincld 14860	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( sin ` x ) e. CC )
363	362	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ x e. RR ) -> ( sin ` x ) e. CC )
364		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) )
365		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
366		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
367	365, 151, 366	mpbir2an 955	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ( CC \ { 0 } )
368	367	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
369	151	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> 2 =/= 0 )
370	162, 356, 364, 148, 368, 334, 359, 369, 152	divlimc 39888	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
371		sinf 14854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sin : CC --> CC
372	371	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> sin : CC --> CC )
373	329	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> RR C_ CC )
374	372, 373	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( sin |` RR ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
375	374	trud 1493	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin |` RR ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) )
376		resincncf 40088	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin |` RR ) e. ( RR -cn-> RR )
377	375, 376	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) e. ( RR -cn-> RR )
378	377	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
379	90	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) e. RR )
380		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
381	378, 379, 380	cnmptlimc 23654	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) e. ( ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) lim CC ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
382		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( s / 2 ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
383		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( s / 2 ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) = ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
384	383	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( s / 2 ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) = ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
385	360, 363, 370, 381, 382, 384	limcco 23657	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
386	356, 357, 343, 143, 150, 359, 385	mullimc 39848	. . . . . 6 |- ( ch -> ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
387	331	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) e. CC )
388	387	sincld 14860	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) e. CC )
389	154, 105	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( -u pi [,] pi ) )
390		fourierdlem44 40368	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) =/= 0 )
391	389, 341, 390	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) =/= 0 )
392	358, 388, 369, 391	mulne0d 10679	. . . . . 6 |- ( ch -> ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) =/= 0 )
393	162, 343, 3, 148, 355, 334, 386, 392, 159	divlimc 39888	. . . . 5 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
394	2, 3, 4, 142, 160, 342, 393	mullimc 39848	. . . 4 |- ( ch -> ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
395		fourierdlem76.d	. . . . 5 |- D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
396	395	a1i 11	. . . 4 |- ( ch -> D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
397		fourierdlem76.o	. . . . . . 7 |- O = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
398	397	reseq1i 5392	. . . . . 6 |- ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
399		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) )
400		iccss 12241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ ( S ` j ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B ) ) -> ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
401	19, 98, 85, 107, 400	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
402	399, 401	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
403	402	resmptd 5452	. . . . . 6 |- ( ch -> ( ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
404	398, 403	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ch -> ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
405	404	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ch -> ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
406	394, 396, 405	3eltr4d 2716	. . 3 |- ( ch -> D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
407	1, 406	sylbir 225	. 2 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
408	242, 249	gtned 10172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= ( Q ` i ) )
409		fourierdlem76.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
410	6, 223, 409	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
411	240	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` i ) ) ) )
412	410, 411	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` i ) ) ) )
413	193	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. CC )
414	276, 230, 278, 279, 263, 281, 408, 412, 413	fourierdlem53 40376	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> R e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
415		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) ) = if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) )
416		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
417	193, 211, 221, 275, 414, 290, 90, 297, 298, 415, 416	fourierdlem32 40356	. . . . . . . 8 |- ( ch -> if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) ) e. ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
418		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
419		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( S ` j ) -> ( X + s ) = ( X + ( S ` j ) ) )
420	419	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( S ` j ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) )
421	420	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) /\ s = ( S ` j ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) )
422	243	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
423	245	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
424	290	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
425	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
426	310	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( S ` j ) )
427		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) -> ( S ` j ) =/= ( Q ` i ) )
428	427	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` j ) =/= ( Q ` i ) )
429	425, 424, 426, 428	leneltd 10191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` i ) < ( S ` j ) )
430	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
431	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
432	297	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
433	314	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
434	424, 430, 431, 432, 433	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` j ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
435	422, 423, 424, 429, 434	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` j ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
436	230, 290	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( X + ( S ` j ) ) e. RR )
437	276, 436	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) e. RR )
438	437	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) e. RR )
439	418, 421, 435, 438	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) = ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) )
440	439	ifeq2da 4117	. . . . . . . 8 |- ( ch -> if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) ) = if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) )
441	326	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) = ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
442	417, 440, 441	3eltr3d 2715	. . . . . . 7 |- ( ch -> if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
443	290	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( S ` j ) e. CC )
444	168, 330, 124, 443	constlimc 39856	. . . . . . 7 |- ( ch -> C e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C ) lim CC ( S ` j ) ) )
445	167, 168, 161, 121, 125, 442, 444	sublimc 39884	. . . . . 6 |- ( ch -> ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
446	330, 162, 443	idlimc 39858	. . . . . 6 |- ( ch -> ( S ` j ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s ) lim CC ( S ` j ) ) )
447	6, 83	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ph /\ ( S ` j ) e. ( A [,] B ) ) )
448		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( S ` j ) -> ( s e. ( A [,] B ) <-> ( S ` j ) e. ( A [,] B ) ) )
449	448	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( S ` j ) -> ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) <-> ( ph /\ ( S ` j ) e. ( A [,] B ) ) ) )
450		neeq1 2856	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( S ` j ) -> ( s =/= 0 <-> ( S ` j ) =/= 0 ) )
451	449, 450	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( s = ( S ` j ) -> ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s =/= 0 ) <-> ( ( ph /\ ( S ` j ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` j ) =/= 0 ) ) )
452	451, 140	vtoclg 3266	. . . . . . 7 |- ( ( S ` j ) e. ( A [,] B ) -> ( ( ph /\ ( S ` j ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` j ) =/= 0 ) )
453	83, 447, 452	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ch -> ( S ` j ) =/= 0 )
454	161, 162, 2, 126, 166, 445, 446, 453, 141	divlimc 39888	. . . . 5 |- ( ch -> ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
455	356, 330, 358, 443	constlimc 39856	. . . . . . 7 |- ( ch -> 2 e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 ) lim CC ( S ` j ) ) )
456	348	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( s / 2 ) =/= ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
457	162, 356, 364, 148, 368, 446, 455, 369, 152	divlimc 39888	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) / 2 ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
458	290	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( S ` j ) / 2 ) e. RR )
459		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( S ` j ) / 2 ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) )
460	378, 458, 459	cnmptlimc 23654	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) e. ( ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) lim CC ( ( S ` j ) / 2 ) ) )
461		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( s / 2 ) = ( ( S ` j ) / 2 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) = ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) )
462	461	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( s / 2 ) = ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) = ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) )
463	456, 363, 457, 460, 382, 462	limcco 23657	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
464	356, 357, 343, 143, 150, 455, 463	mullimc 39848	. . . . . 6 |- ( ch -> ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
465	443	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) / 2 ) e. CC )
466	465	sincld 14860	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) e. CC )
467	154, 83	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( S ` j ) e. ( -u pi [,] pi ) )
468		fourierdlem44 40368	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` j ) e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( S ` j ) =/= 0 ) -> ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) =/= 0 )
469	467, 453, 468	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) =/= 0 )
470	358, 466, 369, 469	mulne0d 10679	. . . . . 6 |- ( ch -> ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) =/= 0 )
471	162, 343, 3, 148, 355, 446, 464, 470, 159	divlimc 39888	. . . . 5 |- ( ch -> ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
472	2, 3, 4, 142, 160, 454, 471	mullimc 39848	. . . 4 |- ( ch -> ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
473		fourierdlem76.e	. . . . 5 |- E = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) )
474	473	a1i 11	. . . 4 |- ( ch -> E = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) )
475	404	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ch -> ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) = ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
476	472, 474, 475	3eltr4d 2716	. . 3 |- ( ch -> E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
477	1, 476	sylbir 225	. 2 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
478	298	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
479	478, 266	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
480	479	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
481	225	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
482	228	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
483	230	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
484	483, 129	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
485	240	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
486	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
487	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
488	245	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
489	487, 488, 478, 248	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
490	486, 18, 483, 489	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + s ) )
491	485, 490	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) < ( X + s ) )
492	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
493	487, 488, 478, 253	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
494	18, 492, 483, 493	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
495	260	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
496	494, 495	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
497	481, 482, 484, 491, 496	eliood 39720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
498	269, 271, 330, 237, 497	fourierdlem23 40347	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
499	480, 498	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
500		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
501	500	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ch -> CC C_ CC )
502	330, 124, 501	constcncfg 40084	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
503	499, 502	subcncf 40082	. . . . . 6 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
504	166	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ch -> A. s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
505		dfss3 3592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
506	504, 505	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
507		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
508	506, 507	idcncfg 40085	. . . . . 6 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
509	503, 508	divcncf 23216	. . . . 5 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
510	330, 501	idcncfg 40085	. . . . . 6 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
511	355, 343	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) --> ( CC \ { 0 } ) )
512	330, 358, 501	constcncfg 40084	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
513		sincn 24198	. . . . . . . . . . 11 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
514	513	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
515	367	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
516	330, 515, 507	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
517	510, 516	divcncf 23216	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
518	514, 517	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
519	512, 518	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
520		cncffvrn 22701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) C_ CC /\ ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) -> ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
521	507, 519, 520	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
522	511, 521	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
523	510, 522	divcncf 23216	. . . . 5 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
524	509, 523	mulcncf 23215	. . . 4 |- ( ch -> ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
525	404, 524	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ch -> ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
526	1, 525	sylbir 225	. 2 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
527	407, 477, 526	jca31 557	1 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117   sincsin 14794   picpi 14797   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem86  40409