Theorem gsummptres 29784

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres.0	|- B = ( Base ` G )
gsummptres.1	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummptres.2	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsummptres.3	|- ( ph -> A e. Fin )
gsummptres.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
gsummptres.5	|- ( ( ph /\ x e. ( A \ D ) ) -> C = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsummptres	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) = ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, G   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem gsummptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres.0	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsummptres.1	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		gsummptres.2	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
5		gsummptres.3	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
6		gsummptres.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
8		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) e. _V
9	2, 8	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .0. e. _V
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. _V )
11	7, 5, 6, 10	fsuppmptdm 8286	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) finSupp .0. )
12		inindif 29353	. . . 4 |- ( ( A i^i D ) i^i ( A \ D ) ) = (/)
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( A i^i D ) i^i ( A \ D ) ) = (/) )
14		inundif 4046	. . . . 5 |- ( ( A i^i D ) u. ( A \ D ) ) = A
15	14	eqcomi 2631	. . . 4 |- A = ( ( A i^i D ) u. ( A \ D ) )
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A = ( ( A i^i D ) u. ( A \ D ) ) )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16	gsumsplit2 18329	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> C ) ) ) )
18		gsummptres.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ D ) ) -> C = .0. )
19	18	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A \ D ) |-> C ) = ( x e. ( A \ D ) |-> .0. ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> C ) ) = ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> .0. ) ) )
21		cmnmnd 18208	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
22	4, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Mnd )
23		diffi 8192	. . . . . . 7 |- ( A e. Fin -> ( A \ D ) e. Fin )
24	5, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A \ D ) e. Fin )
25	2	gsumz 17374	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( A \ D ) e. Fin ) -> ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> .0. ) ) = .0. )
26	22, 24, 25	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> .0. ) ) = .0. )
27	20, 26	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> C ) ) = .0. )
28	27	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> C ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) ( +g ` G ) .0. ) )
29		infi 8184	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A i^i D ) e. Fin )
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i D ) e. Fin )
31		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( A i^i D ) C_ A
32	31	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i D ) -> x e. A )
33	32, 6	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i D ) ) -> C e. B )
34	33	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i D ) C e. B )
35	1, 4, 30, 34	gsummptcl 18366	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) e. B )
36	1, 3, 2	mndrid 17312	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) e. B ) -> ( ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) ( +g ` G ) .0. ) = ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) )
37	22, 35, 36	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) ( +g ` G ) .0. ) = ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) )
38	28, 37	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( A \ D ) |-> C ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) )
39	17, 38	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) = ( G gsumg ( x e. ( A i^i D ) |-> C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by: (None)