sge0split - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0split 40626

Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0split.a
sge0split.b
sge0split.u
sge0split.in0
sge0split.f

**Assertion**
Ref	Expression
sge0split	Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}

Proof of Theorem sge0split Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0split.a	. . . . 5
2	1	adantr 481	. . . 4 $/\$ Σ^{^}
3		sge0split.b	. . . . 5
4	3	adantr 481	. . . 4 $/\$ Σ^{^}
5		sge0split.u	. . . 4
6		sge0split.in0	. . . . 5
7	6	adantr 481	. . . 4 $/\$ Σ^{^}
8		sge0split.f	. . . . 5
9	8	adantr 481	. . . 4 $/\$ Σ^{^}
10		simpr 477	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
11	2, 4, 5, 7, 9, 10	sge0resplit 40623	. . 3 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
12		unexg 6959	. . . . . . . . 9 $/\$
13	1, 3, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8
14	5, 13	syl5eqel 2705	. . . . . . 7
15	14	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^}
16	15, 9, 10	sge0ssre 40614	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
17	15, 9, 10	sge0ssre 40614	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
18		rexadd 12063	. . . . 5 Σ^{^} $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
20	19	eqcomd 2628	. . 3 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
21	11, 20	eqtrd 2656	. 2 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
22		simpl 473	. . 3 $/\$ Σ^{^}
23		simpr 477	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
24	14, 8	sge0repnf 40603	. . . . . 6 Σ^{^} Σ^{^}
25	24	adantr 481	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
26	23, 25	mtbid 314	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
27	26	notnotrd 128	. . 3 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
28	14, 8	sge0xrcl 40602	. . . . 5 Σ^{^}
29	28	adantr 481	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
30		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10
31	30, 5	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8
33	8, 32	fssresd 6071	. . . . . . 7
34	1, 33	sge0xrcl 40602	. . . . . 6 Σ^{^}
35		iccssxr 12256	. . . . . . 7
36		ssun2 3777	. . . . . . . . . . 11
37	36, 5	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . 10
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9
39	8, 38	fssresd 6071	. . . . . . . 8
40	3, 39	sge0cl 40598	. . . . . . 7 Σ^{^}
41	35, 40	sseldi 3601	. . . . . 6 Σ^{^}
42	34, 41	xaddcld 12131	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
43	42	adantr 481	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
44		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9
45		eqid 2622	. . . . . . . . 9
46		xreqle 39534	. . . . . . . . 9 $/\$
47	44, 45, 46	mp2an 708	. . . . . . . 8
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
49	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
50	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
51		rnresss 39365	. . . . . . . . . . 11
52	51	sseli 3599	. . . . . . . . . 10
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
54	49, 50, 53	sge0pnfval 40590	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^{^}
55		ge0nemnf2 39755	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
56	40, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^}
57		xaddpnf2 12058	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
58	41, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^}
59	58	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^}
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^{^}
61	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
62	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	61, 62, 63	sge0pnfval 40590	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Σ^{^}
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
66	60, 54, 65	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
67	66, 54	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
68	54, 67	breq12d 4666	. . . . . . 7 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
69	48, 68	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
70	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
71	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
72	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73		rnresss 39365	. . . . . . . . . . . . 13
74	73	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
76	71, 72, 75	sge0pnfval 40590	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^{^}
77	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	sge0pnfval 40590	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Σ^{^}
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
82	1, 33	sge0cl 40598	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^}
83		ge0nemnf2 39755	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^}
85		xaddpnf1 12057	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
86	34, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^}
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Σ^{^}
88	81, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
89	76, 88	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
90	70, 89	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
91	90	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
92		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
93		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13
94		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
95	94	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . 13
96	93, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
97	92, 96	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
100		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
101	99, 100	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
102		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
103		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
104	102, 103	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
105	101, 104	ssini 3836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
107	106, 6	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108		ss0 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110	109	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
111		indi 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
112	111	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114	5	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115	114	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
118		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
120		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121	120	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122	119, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
123	113, 116, 122	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
125		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
127		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
129		pm4.56 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $\/$
130	129	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $\/$
131		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\/$
132	130, 131	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
133	132	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
134		rnresun 39362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
135	134	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
137	114	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
138	137	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
140		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
141		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
142	8, 140, 141	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
143	142	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
144	136, 139, 143	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
145	144	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
146	133, 145	neleqtrd 2722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
147	128, 146	fge0iccico 40587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
148	147	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
150		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
151	149, 150	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
152	151	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	148, 152	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	127, 153	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	154	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	110, 124, 126, 155	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
157		infi 8184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
158	125, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
159	158	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
160		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	160, 162, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	159, 163	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
165		infi 8184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
166	125, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
167	166	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
168		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
170	169	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	168, 170, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	167, 171	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
173		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
174	164, 172, 173	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
175	174	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
176	156, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
177		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
178	177, 164	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
179	177, 172	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
180	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
181	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
182		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
183	181, 182	fge0iccico 40587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
184	180, 183	sge0reval 40589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Σ^{^}
185	184	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Σ^{^}
186	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Σ^{^}
187	185, 186	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
189	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
190	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
191		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
192	190, 191	fge0iccico 40587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
193	189, 192	sge0reval 40589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Σ^{^}
194	193	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Σ^{^}
195	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Σ^{^}
196	194, 195	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
197	196	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
198	188, 197	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	178, 179, 199	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	180	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
202	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
203	182	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
204	202, 203	fge0iccico 40587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
205	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
206	158	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
207	201, 204, 205, 206	fsumlesge0 40594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Σ^{^}
208	100	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
209		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
210	208, 209	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
211	210	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
212	211	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
213	184	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ Σ^{^}
214	212, 213	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Σ^{^}
215	207, 214	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
216	215	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
217	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
218	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
219	191	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
220	218, 219	fge0iccico 40587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
221	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
222	166	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
223	217, 220, 221, 222	fsumlesge0 40594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Σ^{^}
224	103	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
225		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
226	224, 225	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
227	226	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
229	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ Σ^{^}
230	228, 229	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Σ^{^}
231	223, 230	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
232	231	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
233	216, 232	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234		xle2add 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	200, 233, 234	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
236	176, 235	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
237	236	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
238	98, 237	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
239	238	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
240	239	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
242	97, 241	mpd 15	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
243	242	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
244	147	sge0rnre 40581	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
245	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
246	244, 245	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
247	188, 197	xaddcld 12131	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
248		supxrleub 12156	. . . . . . . . . 10 $/\$
249	246, 247, 248	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
250	243, 249	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
251	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
252	251, 147	sge0reval 40589	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^{^}
253	184	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^{^}
254	193	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^{^}
255	253, 254	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
256	250, 252, 255	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
257	91, 256	pm2.61dan 832	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
258	69, 257	pm2.61dan 832	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
259	258	adantr 481	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
260		pnfge 11964	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
261	42, 260	syl 17	. . . . . 6 Σ^{^} Σ^{^}
262	261	adantr 481	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
263		id 22	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
264	263	eqcomd 2628	. . . . . 6 Σ^{^} Σ^{^}
265	264	adantl 482	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
266	262, 265	breqtrd 4679	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
267	29, 43, 259, 266	xrletrid 11986	. . 3 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
268	22, 27, 267	syl2anc 693	. 2 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
269	21, 268	pm2.61dan 832	1 Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158 class class class wbr 4653

cmpt 4729

crn 5115

cres 5116

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

csup 8346

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cxad 11944

cico 12177

cicc 12178

csu 14416 Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-sumge0 40580

This theorem is referenced by: sge0splitmpt 40628

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