Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioondisj1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ioondisj1 39715
Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioondisj1 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( C (,) D ) ) =/= (/) )
Proof of Theorem ioondisj1
StepHypRef Expression
1 simpll1 1100 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> A e. RR* )
2 simpll2 1101 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> B e. RR* )
3 simplr1 1103 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> C e. RR* )
4 simplr2 1104 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> D e. RR* )
5 iooin 12209 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( C (,) D ) ) = ( if ( A <_ C , C , A ) (,) if ( B <_ D , B , D ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1327 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( C (,) D ) ) = ( if ( A <_ C , C , A ) (,) if ( B <_ D , B , D ) ) )
7 simprl 794 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> A <_ C )
87iftrued 4094 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> if ( A <_ C , C , A ) = C )
98oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) (,) if ( B <_ D , B , D ) ) = ( C (,) if ( B <_ D , B , D ) ) )
10 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> C < B )
11 simplr3 1105 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> C < D )
1210, 11jca 554 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( C < B /\ C < D ) )
13 xrltmin 12013 . . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( C < if ( B <_ D , B , D ) <-> ( C < B /\ C < D ) ) )
143, 2, 4, 13syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( C < if ( B <_ D , B , D ) <-> ( C < B /\ C < D ) ) )
1512, 14mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> C < if ( B <_ D , B , D ) )
162, 4ifcld 4131 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> if ( B <_ D , B , D ) e. RR* )
17 ioon0 12201 . . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ if ( B <_ D , B , D ) e. RR* ) -> ( ( C (,) if ( B <_ D , B , D ) ) =/= (/) <-> C < if ( B <_ D , B , D ) ) )
183, 16, 17syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( ( C (,) if ( B <_ D , B , D ) ) =/= (/) <-> C < if ( B <_ D , B , D ) ) )
1915, 18mpbird 247 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( C (,) if ( B <_ D , B , D ) ) =/= (/) )
209, 19eqnetrd 2861 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) (,) if ( B <_ D , B , D ) ) =/= (/) )
216, 20eqnetrd 2861 1 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) ) /\ ( A <_ C /\ C < B ) ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( C (,) D ) ) =/= (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator