Theorem ipodrsima 17165

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	|- ( ph -> F Fn ~P A )
ipodrsima.m	|- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
ipodrsima.d	|- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
ipodrsima.s	|- ( ph -> B C_ ~P A )
ipodrsima.a	|- ( ph -> ( F " B ) e. V )

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	|- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Distinct variable groups:   ph, u, v   u, A, v   u, F, v

Allowed substitution hints:   B( v, u)   V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 |- ( ph -> ( F " B ) e. V )
2		elex 3212	. . 3 |- ( ( F " B ) e. V -> ( F " B ) e. _V )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) e. _V )
4		ipodrsima.d	. . . . 5 |- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
5		isipodrs 17161	. . . . 5 |- ( (toInc ` B ) e. Dirset <-> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
6	4, 5	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
7	6	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> B =/= (/) )
8		ipodrsima.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn ~P A )
9		ipodrsima.s	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ~P A )
10		fnimaeq0 6013	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
12	11	necon3bid 2838	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " B ) =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
13	7, 12	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) =/= (/) )
14	6	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c )
15		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ph )
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> a C_ c )
17	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> B C_ ~P A )
18		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. B )
19	17, 18	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. ~P A )
20	19	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c C_ A )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> c C_ A )
22		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
23		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. _V
24		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> a C_ c ) )
25		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = c -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
27	24, 26	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( a C_ c /\ c C_ A ) ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ( F ` u ) = ( F ` a ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = c -> ( F ` v ) = ( F ` c ) )
31		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` a ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
33	28, 32	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) ) )
34		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
35	22, 23, 33, 34	vtocl2 3261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
36	15, 16, 21, 35	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
37	36	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a C_ c -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
38		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ph )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> b C_ c )
40	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> c C_ A )
41		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- b e. _V
42		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> b C_ c ) )
43	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
44	42, 43	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( b C_ c /\ c C_ A ) ) )
45	44	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = b -> ( F ` u ) = ( F ` b ) )
47		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` b ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
48	46, 30, 47	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
49	45, 48	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
50	41, 23, 49, 34	vtocl2 3261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
51	38, 39, 40, 50	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( b C_ c -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
53	37, 52	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a C_ c /\ b C_ c ) -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
54		unss 3787	. . . . . . . . 9 |- ( ( a C_ c /\ b C_ c ) <-> ( a u. b ) C_ c )
55		unss 3787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
56	53, 54, 55	3imtr3g 284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
57	56	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
58	57	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
59	58	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
60	59	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
61	14, 60	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
62		uneq1 3760	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x u. y ) = ( ( F ` a ) u. y ) )
63	62	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
64	63	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
65	64	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
66	65	ralima 6498	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
67	8, 9, 66	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
68		uneq2 3761	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) u. y ) = ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) )
69	68	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
70	69	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` b ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
71	70	ralima 6498	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
72	8, 9, 71	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
73		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
74	73	rexima 6497	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
75	8, 9, 74	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
76	75	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
77	72, 76	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
78	77	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
79	67, 78	bitrd 268	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
80	61, 79	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z )
81		isipodrs 17161	. 2 |- ( (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset <-> ( ( F " B ) e. _V /\ ( F " B ) =/= (/) /\ A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z ) )
82	3, 13, 80, 81	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  Dirsetcdrs 16927  toInccipo 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152

This theorem is referenced by:  isacs4lem  17168  isnacs3  37273