Theorem ishil2 20063

Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishil2.v	|- V = ( Base ` H )
ishil2.s	|- .(+) = ( LSSum ` H )
ishil2.o	|- ._|_ = ( ocv ` H )
ishil2.c	|- C = ( CSubSp ` H )

Assertion

Ref	Expression
ishil2	|- ( H e. Hil <-> ( H e. PreHil /\ A. s e. C ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) )

Distinct variable groups:   C, s   H, s

Allowed substitution hints:   .(+) ( s)   ._|_ ( s)   V( s)

Proof of Theorem ishil2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( proj ` H ) = ( proj ` H )
2		ishil2.c	. . 3 |- C = ( CSubSp ` H )
3	1, 2	ishil 20062	. 2 |- ( H e. Hil <-> ( H e. PreHil /\ dom ( proj ` H ) = C ) )
4	1, 2	pjcss 20060	. . . . . 6 |- ( H e. PreHil -> dom ( proj ` H ) C_ C )
5		eqss 3618	. . . . . . 7 |- ( dom ( proj ` H ) = C <-> ( dom ( proj ` H ) C_ C /\ C C_ dom ( proj ` H ) ) )
6	5	baib 944	. . . . . 6 |- ( dom ( proj ` H ) C_ C -> ( dom ( proj ` H ) = C <-> C C_ dom ( proj ` H ) ) )
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( H e. PreHil -> ( dom ( proj ` H ) = C <-> C C_ dom ( proj ` H ) ) )
8		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( C C_ dom ( proj ` H ) <-> A. s e. C s e. dom ( proj ` H ) )
9	7, 8	syl6bb 276	. . . 4 |- ( H e. PreHil -> ( dom ( proj ` H ) = C <-> A. s e. C s e. dom ( proj ` H ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSubSp ` H ) = ( LSubSp ` H )
11	2, 10	csslss 20035	. . . . . 6 |- ( ( H e. PreHil /\ s e. C ) -> s e. ( LSubSp ` H ) )
12		ishil2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` H )
13		ishil2.o	. . . . . . . 8 |- ._|_ = ( ocv ` H )
14		ishil2.s	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` H )
15	12, 10, 13, 14, 1	pjdm2 20055	. . . . . . 7 |- ( H e. PreHil -> ( s e. dom ( proj ` H ) <-> ( s e. ( LSubSp ` H ) /\ ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) ) )
16	15	baibd 948	. . . . . 6 |- ( ( H e. PreHil /\ s e. ( LSubSp ` H ) ) -> ( s e. dom ( proj ` H ) <-> ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) )
17	11, 16	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( H e. PreHil /\ s e. C ) -> ( s e. dom ( proj ` H ) <-> ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) )
18	17	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( H e. PreHil -> ( A. s e. C s e. dom ( proj ` H ) <-> A. s e. C ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) )
19	9, 18	bitrd 268	. . 3 |- ( H e. PreHil -> ( dom ( proj ` H ) = C <-> A. s e. C ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) )
20	19	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( H e. PreHil /\ dom ( proj ` H ) = C ) <-> ( H e. PreHil /\ A. s e. C ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) )
21	3, 20	bitri 264	1 |- ( H e. Hil <-> ( H e. PreHil /\ A. s e. C ( s .(+) ( ._|_ ` s ) ) = V ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   LSSumclsm 18049   LSubSpclss 18932   PreHilcphl 19969   ocvcocv 20004   CSubSpccss 20005   projcpj 20044   Hilchs 20045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-rnghom 18715  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971  df-ocv 20007  df-css 20008  df-pj 20047  df-hil 20048

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  37252