Theorem pjdm2 20055

Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjdm2.v	|- V = ( Base ` W )
pjdm2.l	|- L = ( LSubSp ` W )
pjdm2.o	|- ._|_ = ( ocv ` W )
pjdm2.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
pjdm2.k	|- K = ( proj ` W )

Assertion

Ref	Expression
pjdm2	|- ( W e. PreHil -> ( T e. dom K <-> ( T e. L /\ ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V ) ) )

Proof of Theorem pjdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjdm2.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		pjdm2.l	. . 3 |- L = ( LSubSp ` W )
3		pjdm2.o	. . 3 |- ._|_ = ( ocv ` W )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( proj1 ` W ) = ( proj1 ` W )
5		pjdm2.k	. . 3 |- K = ( proj ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	pjdm 20051	. 2 |- ( T e. dom K <-> ( T e. L /\ ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V ) )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
8		pjdm2.s	. . . . . 6 |- .(+) = ( LSSum ` W )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Cntz ` W ) = (Cntz ` W )
11		phllmod 19975	. . . . . . . . 9 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> W e. LMod )
13	2	lsssssubg 18958	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> L C_ (SubGrp ` W ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> L C_ (SubGrp ` W ) )
15		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> T e. L )
16	14, 15	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> T e. (SubGrp ` W ) )
17	1, 2	lssss 18937	. . . . . . . 8 |- ( T e. L -> T C_ V )
18	1, 3, 2	ocvlss 20016	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. PreHil /\ T C_ V ) -> ( ._|_ ` T ) e. L )
19	17, 18	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> ( ._|_ ` T ) e. L )
20	14, 19	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> ( ._|_ ` T ) e. (SubGrp ` W ) )
21	3, 2, 9	ocvin 20018	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> ( T i^i ( ._|_ ` T ) ) = { ( 0g ` W ) } )
22		lmodabl 18910	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> W e. Abel )
24	10, 23, 16, 20	ablcntzd 18260	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> T C_ ( (Cntz ` W ) ` ( ._|_ ` T ) ) )
25	7, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4	pj1f 18110	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> T )
26	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> T C_ V )
27	25, 26	fssd 6057	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> V )
28		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> V -> dom ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) = ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) )
29	28	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> V -> ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = dom ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) )
30		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V -> dom ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) = V )
31	30	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V -> ( ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = dom ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) <-> ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V ) )
32	29, 31	syl5ibcom 235	. . . . 5 |- ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> V -> ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V -> ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V ) )
33		feq2 6027	. . . . . 6 |- ( ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V -> ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> V <-> ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V ) )
34	33	biimpcd 239	. . . . 5 |- ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> V -> ( ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V -> ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V ) )
35	32, 34	impbid 202	. . . 4 |- ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) --> V -> ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V <-> ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V ) )
36	27, 35	syl 17	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ T e. L ) -> ( ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V <-> ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V ) )
37	36	pm5.32da 673	. 2 |- ( W e. PreHil -> ( ( T e. L /\ ( T ( proj1 ` W ) ( ._|_ ` T ) ) : V --> V ) <-> ( T e. L /\ ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V ) ) )
38	6, 37	syl5bb 272	1 |- ( W e. PreHil -> ( T e. dom K <-> ( T e. L /\ ( T .(+) ( ._|_ ` T ) ) = V ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   LSSumclsm 18049   proj1cpj1 18050   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   PreHilcphl 19969   ocvcocv 20004   projcpj 20044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971  df-ocv 20007  df-pj 20047

This theorem is referenced by:  pjff  20056  pjf2  20058  pjfo  20059  pjcss  20060  ocvpj  20061  ishil2  20063  pjth2  23211