Theorem hbtlem2 37694

Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	|- P = (Poly1 ` R )
hbtlem.u	|- U = (LIdeal ` P )
hbtlem.s	|- S = (ldgIdlSeq ` R )
hbtlem2.t	|- T = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
hbtlem2	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` X ) e. T )

Proof of Theorem hbtlem2

Dummy variables a b c d e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem.p	. . 3 |- P = (Poly1 ` R )
2		hbtlem.u	. . 3 |- U = (LIdeal ` P )
3		hbtlem.s	. . 3 |- S = (ldgIdlSeq ` R )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( deg1 ` R ) = ( deg1 ` R )
5	1, 2, 3, 4	hbtlem1 37693	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` X ) = { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
7	6, 2	lidlss 19210	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` P ) )
8	7	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> I C_ ( Base ` P ) )
9	8	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> b e. ( Base ` P ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (coe1 ` b ) = (coe1 ` b )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
12	10, 6, 1, 11	coe1f 19581	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( Base ` P ) -> (coe1 ` b ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> (coe1 ` b ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
14		simpl3 1066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> X e. NN0 )
15	13, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> ( (coe1 ` b ) ` X ) e. ( Base ` R ) )
16		eleq1a 2696	. . . . . . 7 |- ( ( (coe1 ` b ) ` X ) e. ( Base ` R ) -> ( a = ( (coe1 ` b ) ` X ) -> a e. ( Base ` R ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> ( a = ( (coe1 ` b ) ` X ) -> a e. ( Base ` R ) ) )
18	17	adantld 483	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) -> a e. ( Base ` R ) ) )
19	18	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) -> a e. ( Base ` R ) ) )
20	19	abssdv 3676	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } C_ ( Base ` R ) )
21	1	ply1ring 19618	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
22	21	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> P e. Ring )
23		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> I e. U )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
25	2, 24	lidl0cl 19212	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` P ) e. I )
26	22, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( 0g ` P ) e. I )
27	4, 1, 24	deg1z 23847	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) = -oo )
28	27	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) = -oo )
29		nn0ssre 11296	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ RR
30		ressxr 10083	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
31	29, 30	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR*
32		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> X e. NN0 )
33	31, 32	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> X e. RR* )
34		mnfle 11969	. . . . . . . 8 |- ( X e. RR* -> -oo <_ X )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> -oo <_ X )
36	28, 35	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
38	1, 24, 37	coe1z 19633	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> (coe1 ` ( 0g ` P ) ) = ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) )
39	38	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> (coe1 ` ( 0g ` P ) ) = ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) )
40	39	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) = ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` X ) )
41		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
42	41	fvconst2 6469	. . . . . . . 8 |- ( X e. NN0 -> ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` X ) = ( 0g ` R ) )
43	42	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` X ) = ( 0g ` R ) )
44	40, 43	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) )
46	45	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( 0g ` P ) -> (coe1 ` b ) = (coe1 ` ( 0g ` P ) ) )
48	47	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( 0g ` P ) -> ( (coe1 ` b ) ` X ) = ( (coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) )
49	48	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) )
50	46, 49	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) ) )
51	50	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( 0g ` P ) e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
52	26, 36, 44, 51	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
53		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( a = ( 0g ` R ) -> ( a = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
54	53	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( a = ( 0g ` R ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
55	54	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( a = ( 0g ` R ) -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
56	41, 55	elab 3350	. . . . 5 |- ( ( 0g ` R ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
57	52, 56	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( 0g ` R ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
58		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( 0g ` R ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } -> { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } =/= (/) )
59	57, 58	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } =/= (/) )
60	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> P e. Ring )
61		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> I e. U )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (algSc ` P ) = (algSc ` P )
63	1, 62, 11, 6	ply1sclf 19655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( R e. Ring -> (algSc ` P ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` P ) )
64	63	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> (algSc ` P ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` P ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> (algSc ` P ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` P ) )
66		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> c e. ( Base ` R ) )
67	65, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( (algSc ` P ) ` c ) e. ( Base ` P ) )
68		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> f e. I )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> f e. I )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
71	2, 6, 70	lidlmcl 19217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. Ring /\ I e. U ) /\ ( ( (algSc ` P ) ` c ) e. ( Base ` P ) /\ f e. I ) ) -> ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. I )
72	60, 61, 67, 69, 71	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. I )
73		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> g e. I )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> g e. I )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
76	2, 75	lidlacl 19213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Ring /\ I e. U ) /\ ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. I /\ g e. I ) ) -> ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) e. I )
77	60, 61, 72, 74, 76	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) e. I )
78		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> R e. Ring )
79	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> I C_ ( Base ` P ) )
80	79, 69	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> f e. ( Base ` P ) )
81	6, 70	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. Ring /\ ( (algSc ` P ) ` c ) e. ( Base ` P ) /\ f e. ( Base ` P ) ) -> ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) )
82	60, 67, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) )
83	79, 74	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> g e. ( Base ` P ) )
84		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> X e. NN0 )
85	31, 84	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> X e. RR* )
86	4, 1, 6	deg1xrcl 23842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) e. RR* )
87	82, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) e. RR* )
88	4, 1, 6	deg1xrcl 23842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f e. ( Base ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) e. RR* )
89	80, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) e. RR* )
90	4, 1, 11, 6, 70, 62	deg1mul3le 23876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) /\ f e. ( Base ` P ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) <_ ( ( deg1 ` R ) ` f ) )
91	78, 66, 80, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) <_ ( ( deg1 ` R ) ` f ) )
92		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X )
94	87, 89, 85, 91, 93	xrletrd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) <_ X )
95		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X )
97	1, 4, 78, 6, 75, 82, 83, 85, 94, 96	deg1addle2 23862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X )
98		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
99	1, 6, 75, 98	coe1addfv 19635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) /\ g e. ( Base ` P ) ) /\ X e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) = ( ( (coe1 ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) )
100	78, 82, 83, 84, 99	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) = ( ( (coe1 ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) )
101		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
102	1, 6, 11, 62, 70, 101	coe1sclmulfv 19653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R e. Ring /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ f e. ( Base ` P ) ) /\ X e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) = ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) )
103	78, 66, 80, 84, 102	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) = ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) )
105	100, 104	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) )
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) )
107	106	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X ) )
108		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( b = ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> (coe1 ` b ) = (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) )
109	108	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( (coe1 ` b ) ` X ) = ( (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) )
110	109	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) )
111	107, 110	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) ) )
112	111	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` ( ( ( (algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
113	77, 97, 105, 112	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
114		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. _V
115		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( a = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
116	115	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
117	116	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
118	114, 117	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
119	113, 118	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
120	119	exp45 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( c e. ( Base ` R ) -> ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) ) )
121	120	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) )
122	121	exp5c 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( f e. I -> ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X -> ( g e. I -> ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) ) ) )
123	122	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X -> ( g e. I -> ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) ) )
124	123	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ g e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
125		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = ( (coe1 ` g ) ` X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) = ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) )
126	125	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = ( (coe1 ` g ) ` X ) -> ( ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
127	124, 126	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ g e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( e = ( (coe1 ` g ) ` X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
128	127	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ g e. I ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
129	128	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
130	129	alrimiv 1855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> A. e ( E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
131		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = e -> ( a = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
132	131	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
133	132	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
134		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = g -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` g ) )
135	134	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = g -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) )
136		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = g -> (coe1 ` b ) = (coe1 ` g ) )
137	136	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = g -> ( (coe1 ` b ) ` X ) = ( (coe1 ` g ) ` X ) )
138	137	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = g -> ( e = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) )
139	135, 138	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = g -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) ) )
140	139	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) )
141	133, 140	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = e -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) ) )
142	141	ralab 3367	. . . . . . . . . 10 |- ( A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> A. e ( E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
143	130, 142	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
144		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( (coe1 ` f ) ` X ) -> ( c ( .r ` R ) d ) = ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) )
145	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( (coe1 ` f ) ` X ) -> ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) = ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) )
146	145	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( (coe1 ` f ) ` X ) -> ( ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
147	146	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( (coe1 ` f ) ` X ) -> ( A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
148	143, 147	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( d = ( (coe1 ` f ) ` X ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
149	148	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
150	149	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
151	150	alrimiv 1855	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> A. d ( E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
152		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( a = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
153	152	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( a = d -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
154	153	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( a = d -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) ) )
155		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( b = f -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` f ) )
156	155	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( b = f -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) )
157		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = f -> (coe1 ` b ) = (coe1 ` f ) )
158	157	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( b = f -> ( (coe1 ` b ) ` X ) = ( (coe1 ` f ) ` X ) )
159	158	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( b = f -> ( d = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) )
160	156, 159	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( b = f -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ) )
161	160	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) )
162	154, 161	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( a = d -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) ) )
163	162	ralab 3367	. . . . 5 |- ( A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> A. d ( E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
164	151, 163	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
165	164	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> A. c e. ( Base ` R ) A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
166		hbtlem2.t	. . . 4 |- T = (LIdeal ` R )
167	166, 11, 98, 101	islidl 19211	. . 3 |- ( { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } e. T <-> ( { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } C_ ( Base ` R ) /\ { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } =/= (/) /\ A. c e. ( Base ` R ) A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } ) )
168	20, 59, 165, 167	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } e. T )
169	5, 168	eqeltrd 2701	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` X ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  algSccascl 19311  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  ldgIdlSeqcldgis 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-ldgis 37692

This theorem is referenced by:  hbtlem7  37695  hbtlem6  37699