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Theorem itgss 23578
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1 |- ( ph -> A C_ B )
itgss.2 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
Assertion
Ref Expression
itgss |- ( ph -> S. A C _d x = S. B C _d x )
Distinct variable group:   ph, x
Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)
Proof of Theorem itgss
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12342 . . . 4 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
2 iffalse 4095 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
32ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( x e. B /\ -. x e. A ) ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
4 eldif 3584 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( B \ A ) <-> ( x e. B /\ -. x e. A ) )
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
65adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
76oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( C / ( _i ^ k ) ) = ( 0 / ( _i ^ k ) ) )
8 ax-icn 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- _i e. CC
9 ine0 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- _i =/= 0
10 expclz 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
118, 9, 10mp3an12 1414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) e. CC )
12 expne0i 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
138, 9, 12mp3an12 1414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
1411, 13div0d 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ZZ -> ( 0 / ( _i ^ k ) ) = 0 )
1514ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( 0 / ( _i ^ k ) ) = 0 )
167, 15eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( C / ( _i ^ k ) ) = 0 )
1716fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` 0 ) )
18 re0 13892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Re ` 0 ) = 0
1917, 18syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = 0 )
2019ifeq1d 4104 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 , 0 ) )
21 ifid 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 , 0 ) = 0
2220, 21syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. ( B \ A ) ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0 )
234, 22sylan2br 493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( x e. B /\ -. x e. A ) ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0 )
243, 23eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ ( x e. B /\ -. x e. A ) ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
2524expr 643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. B ) -> ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
26 iftrue 4092 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
2725, 26pm2.61d2 172 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. B ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
28 iftrue 4092 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. B ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
3027, 29eqtr4d 2659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. B ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ B )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> A C_ B )
3332sseld 3602 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
3433con3dimp 457 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. x e. B ) -> -. x e. A )
3534, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. x e. B ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
36 iffalse 4095 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. B -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. x e. B ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
3835, 37eqtr4d 2659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. x e. B ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
3930, 38pm2.61dan 832 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
40 ifan 4134 . . . . . . . 8 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
41 ifan 4134 . . . . . . . 8 |- if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
4239, 40, 413eqtr4g 2681 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
4342mpteq2dv 4745 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
4443fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
4544oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
461, 45sylan2 491 . . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
4746sumeq2dv 14433 . 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
48 eqid 2622 . . 3 |- ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) )
4948dfitg 23536 . 2 |- S. A C _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
5048dfitg 23536 . 2 |- S. B C _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
5147, 49, 503eqtr4g 2681 1 |- ( ph -> S. A C _d x = S. B C _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   x. cmul 9941   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   sum_csu 14416   S.2citg2 23385   S.citg 23387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sum 14417  df-itg 23392
This theorem is referenced by:  itgss2  23579  areacirc  33505
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