Theorem iundisjf 29402

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. Cf. iundisj 23316. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisjf.1	|- F/_ k A
iundisjf.2	|- F/_ n B
iundisjf.3	|- ( n = k -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
iundisjf	|- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Distinct variable group:   k, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)

Proof of Theorem iundisjf

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { n e. NN | x e. A } C_ NN
2		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	sseqtri 3637	. . . . . . . . 9 |- { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 )
4		rabn0 3958	. . . . . . . . . 10 |- ( { n e. NN | x e. A } =/= (/) <-> E. n e. NN x e. A )
5	4	biimpri 218	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> { n e. NN | x e. A } =/= (/) )
6		infssuzcl 11772	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | x e. A } =/= (/) ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. { n e. NN | x e. A } )
7	3, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. { n e. NN | x e. A } )
8		nfrab1 3122	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n { n e. NN | x e. A }
9		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n RR
10		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <
11	8, 9, 10	nfinf 8388	. . . . . . . . 9 |- F/_ ninf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < )
12		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n NN
13	11	nfcsb1 3548	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A
14	13	nfcri 2758	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A
15		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( n = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> A = [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A )
16	15	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( n = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( x e. A <-> x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A ) )
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3360	. . . . . . . 8 |- (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. { n e. NN | x e. A } <-> (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN /\ x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A ) )
18	7, 17	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN /\ x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A ) )
19	18	simpld 475	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN )
20	18	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A )
21	19	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. RR )
22	21	ltnrd 10171	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
23		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B <-> E. k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) x e. B )
24		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k NN
25		iundisjf.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k A
26	25	nfcri 2758	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k x e. A
27	24, 26	nfrex 3007	. . . . . . . . . 10 |- F/ k E. n e. NN x e. A
28	26, 24	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k { n e. NN | x e. A }
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k RR
30		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k <
31	28, 29, 30	nfinf 8388	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ kinf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < )
32	31, 30, 31	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 |- F/ kinf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < )
33	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. RR )
34		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
35	34, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) -> k e. NN )
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. NN )
37	36	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. RR )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n k
40		iundisjf.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n B
41	40	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n x e. B
42		iundisjf.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> A = B )
43	42	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( x e. A <-> x e. B ) )
44	39, 12, 41, 43	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { n e. NN | x e. A } <-> ( k e. NN /\ x e. B ) )
45	36, 38, 44	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. { n e. NN | x e. A } )
46		infssuzle 11771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | x e. A } ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) <_ k )
47	3, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) <_ k )
48		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) -> k < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
50	33, 37, 33, 47, 49	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
51	50	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) -> ( x e. B -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) )
52	27, 32, 51	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( E. k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) x e. B -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) )
53	23, 52	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( x e. U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) )
54	22, 53	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. x e. U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B )
55	20, 54	eldifd 3585	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) )
56		csbeq1 3536	. . . . . . . . 9 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> [_ m / n ]_ A = [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A )
57	31	nfeq2 2780	. . . . . . . . . 10 |- F/ k m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < )
58		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( 1..^ m )
59		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 1
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k..^
61	59, 60, 31	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
62		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( 1..^ m ) = ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) )
63		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> B = B )
64	57, 58, 61, 62, 63	iuneq12df 4544	. . . . . . . . 9 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> U_ k e. ( 1..^ m ) B = U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B )
65	56, 64	difeq12d 3729	. . . . . . . 8 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) = ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) )
66	65	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) <-> x e. ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) ) )
67	66	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN /\ x e. ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) ) -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
68	19, 55, 67	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
69		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ m x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
70		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
71		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( 1..^ m )
72	71, 40	nfiun 4548	. . . . . . . 8 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ m ) B
73	70, 72	nfdif 3731	. . . . . . 7 |- F/_ n ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
74	73	nfcri 2758	. . . . . 6 |- F/ n x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
75		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
76		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ m ) )
77	76	iuneq1d 4545	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ m ) B )
78	75, 77	difeq12d 3729	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
79	78	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) ) )
80	69, 74, 79	cbvrex 3168	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
81	68, 80	sylibr 224	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
82		eldifi 3732	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> x e. A )
83	82	reximi 3011	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> E. n e. NN x e. A )
84	81, 83	impbii 199	. . 3 |- ( E. n e. NN x e. A <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
85		eliun 4524	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> E. n e. NN x e. A )
86		eliun 4524	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
87	84, 85, 86	3bitr4i 292	. 2 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
88	87	eqriv 2619	1 |- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   [_csb 3533   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  iundisjcnt  29557