Theorem iundisj2f 29403

Description: A disjoint union is disjoint. Cf. iundisj2 23317. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisjf.1	|- F/_ k A
iundisjf.2	|- F/_ n B
iundisjf.3	|- ( n = k -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
iundisj2f	|- Disj n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Distinct variable group:   k, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)

Proof of Theorem iundisj2f

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1487	. . . 4 |- T.
2		eqeq12 2635	. . . . . 6 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( a = b <-> x = y ) )
3		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
4		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
5	3, 4	ineqan12d 3816	. . . . . . 7 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
6	5	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) <-> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
7	2, 6	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( ( a = b \/ ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) ) )
8		eqeq12 2635	. . . . . . 7 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( a = b <-> y = x ) )
9		equcom 1945	. . . . . . 7 |- ( y = x <-> x = y )
10	8, 9	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( a = b <-> x = y ) )
11		csbeq1 3536	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
12		csbeq1 3536	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
13	11, 12	ineqan12d 3816	. . . . . . . 8 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
14		incom 3805	. . . . . . . 8 |- ( [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) <-> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
17	10, 16	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( ( a = b \/ ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) ) )
18		nnssre 11024	. . . . . 6 |- NN C_ RR
19	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> NN C_ RR )
20		biidd 252	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) -> ( ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) ) )
21		nesym 2850	. . . . . . . 8 |- ( y =/= x <-> -. x = y )
22		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> x e. RR )
23		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR )
24		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x <_ y -> x <_ y )
25		leltne 10127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> ( x < y <-> y =/= x ) )
26	22, 23, 24, 25	syl3an 1368	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( x < y <-> y =/= x ) )
27		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
28		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ x / n ]_ A
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n ( 1..^ x )
30		iundisjf.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n B
31	29, 30	nfiun 4548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ x ) B
32	28, 31	nfdif 3731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B )
33		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = x -> A = [_ x / n ]_ A )
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = x -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ x ) )
35	34	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = x -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ x ) B )
36	33, 35	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) )
37	27, 32, 36	csbief 3558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B )
38		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
39		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ y / n ]_ A
40		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n ( 1..^ y )
41	40, 30	nfiun 4548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ y ) B
42	39, 41	nfdif 3731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
43		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = y -> A = [_ y / n ]_ A )
44		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = y -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ y ) )
45	44	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = y -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ y ) B )
46	43, 45	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = y -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) )
47	38, 42, 46	csbief 3558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
48	37, 47	ineq12i 3812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) )
49		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x e. NN )
50		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
51	49, 50	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
52		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> y e. NN )
53	52	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> y e. ZZ )
54		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x < y )
55		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1..^ y ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ y e. ZZ /\ x < y ) )
56	51, 53, 54, 55	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x e. ( 1..^ y ) )
57		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( 1..^ y )
58		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k x
59		iundisjf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k A
60	58, 59	nfcsb 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ x / n ]_ A
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ n k
62		iundisjf.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = k -> A = B )
63	61, 30, 62	csbhypf 3552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> [_ x / n ]_ A = B )
64	63	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = x -> [_ x / n ]_ A = B )
65	64	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = x -> B = [_ x / n ]_ A )
66	57, 58, 60, 65	ssiun2sf 29378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1..^ y ) -> [_ x / n ]_ A C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
67	56, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> [_ x / n ]_ A C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
68	67	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
69		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B -> ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) )
71	48, 70	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) )
72		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) = (/)
73		sseq0 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) /\ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) = (/) ) -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) )
74	71, 72, 73	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) )
75	74	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x < y -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
76	75	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( x < y -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
77	26, 76	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( y =/= x -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
78	21, 77	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( -. x = y -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
79	78	orrd 393	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
80	79	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
81	7, 17, 19, 20, 80	wlogle 10561	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
82	1, 81	mpan 706	. . 3 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
83	82	rgen2a 2977	. 2 |- A. x e. NN A. y e. NN ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) )
84		disjors 4635	. 2 |- (Disj n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> A. x e. NN A. y e. NN ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
85	83, 84	mpbir 221	1 |- Disj n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   [_csb 3533   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  29558