Theorem kur14lem8 31195

Description: Lemma for kur14 31198. Show that the set T contains at most 1 4 elements. (It could be less if some of the operators take the same value for a given set, but Kuratowski showed that this upper bound of 1 4 is tight in the sense that there exist topological spaces and subsets of these spaces for which all 1 4 generated sets are distinct, and indeed the real numbers form such a topological space.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem.j	|- J e. Top
kur14lem.x	|- X = U. J
kur14lem.k	|- K = ( cls ` J )
kur14lem.i	|- I = ( int ` J )
kur14lem.a	|- A C_ X
kur14lem.b	|- B = ( X \ ( K ` A ) )
kur14lem.c	|- C = ( K ` ( X \ A ) )
kur14lem.d	|- D = ( I ` ( K ` A ) )
kur14lem.t	|- T = ( ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) u. { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } ) u. ( { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } u. { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
kur14lem8	|- ( T e. Fin /\ ( # ` T ) <_ ; 1 4 )

Proof of Theorem kur14lem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem.t	. 2 |- T = ( ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) u. { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } ) u. ( { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } u. { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } ) )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) u. { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } ) = ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) u. { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) = ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } )
4		hashtplei 13266	. . . 4 |- ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } e. Fin /\ ( # ` { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } ) <_ 3 )
5		hashtplei 13266	. . . 4 |- ( { B , C , ( I ` A ) } e. Fin /\ ( # ` { B , C , ( I ` A ) } ) <_ 3 )
6		3nn0 11310	. . . 4 |- 3 e. NN0
7		3p3e6 11161	. . . 4 |- ( 3 + 3 ) = 6
8	3, 4, 5, 6, 6, 7	hashunlei 13212	. . 3 |- ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) e. Fin /\ ( # ` ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) ) <_ 6 )
9		hashtplei 13266	. . 3 |- ( { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } e. Fin /\ ( # ` { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } ) <_ 3 )
10		6nn0 11313	. . 3 |- 6 e. NN0
11		6p3e9 11170	. . 3 |- ( 6 + 3 ) = 9
12	2, 8, 9, 10, 6, 11	hashunlei 13212	. 2 |- ( ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) u. { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } ) e. Fin /\ ( # ` ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { B , C , ( I ` A ) } ) u. { ( K ` B ) , D , ( K ` ( I ` A ) ) } ) ) <_ 9 )
13		eqid 2622	. . 3 |- ( { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } u. { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } ) = ( { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } u. { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } )
14		hashtplei 13266	. . 3 |- ( { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } e. Fin /\ ( # ` { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } ) <_ 3 )
15		hashprlei 13250	. . 3 |- ( { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } e. Fin /\ ( # ` { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } ) <_ 2 )
16		2nn0 11309	. . 3 |- 2 e. NN0
17		3p2e5 11160	. . 3 |- ( 3 + 2 ) = 5
18	13, 14, 15, 6, 16, 17	hashunlei 13212	. 2 |- ( ( { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } u. { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } ) e. Fin /\ ( # ` ( { ( I ` C ) , ( K ` D ) , ( I ` ( K ` B ) ) } u. { ( K ` ( I ` C ) ) , ( I ` ( K ` ( I ` A ) ) ) } ) ) <_ 5 )
19		9nn0 11316	. 2 |- 9 e. NN0
20		5nn0 11312	. 2 |- 5 e. NN0
21		9p5e14 11623	. 2 |- ( 9 + 5 ) = ; 1 4
22	1, 12, 18, 19, 20, 21	hashunlei 13212	1 |- ( T e. Fin /\ ( # ` T ) <_ ; 1 4 )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {cpr 4179   {ctp 4181   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Fincfn 7955   1c1 9937   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   9c9 11077  ;cdc 11493   #chash 13117   Topctop 20698   intcnt 20821   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  kur14lem9  31196