tgoldbach - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem tgoldbach 41705

Description: The ternary Goldbach conjecture is valid. Main theorem in [Helfgott] p. 2. This follows from tgoldbachlt 41704 and ax-tgoldbachgt 41699. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
tgoldbach	Odd GoldbachOdd

Proof of Theorem tgoldbach Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 41544	. . . . 5 Odd
2	1	zred 11482	. . . 4 Odd
3		10re 11517	. . . . 5 ;
4		2nn0 11309	. . . . . . 7
5		7nn 11190	. . . . . . 7
6	4, 5	decnncl 11518	. . . . . 6 ;
7	6	nnnn0i 11300	. . . . 5 ;
8		reexpcl 12877	. . . . 5 ; $/\$ ; ;;
9	3, 7, 8	mp2an 708	. . . 4 ;;
10		lelttric 10144	. . . 4 $/\$ ;; ;; $\/$ ;;
11	2, 9, 10	sylancl 694	. . 3 Odd ;; $\/$ ;;
12		tgoldbachlt 41704	. . . . 5 ;; $/\$ Odd $/\$ GoldbachOdd
13		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13
14		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 GoldbachOdd GoldbachOdd
17	15, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $/\$ GoldbachOdd $/\$ GoldbachOdd
18	17	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 Odd Odd $/\$ GoldbachOdd $/\$ GoldbachOdd
19	9	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ;;
20	19	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ;; ;;
21		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
22		8re 11105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
23	21, 22	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd $/\$ $/\$
25		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
26		1lt8 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
27	25, 26	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd $/\$ $/\$
29		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
30	29	decnncl2 11525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ;
31	30	nnnn0i 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ;
32		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ; $/\$ ; ;;
33	3, 31, 32	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ;;
34	9, 33	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ;; $/\$ ;;
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd $/\$ ;; $/\$ ;;
36		10nn0 11516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ;
37	36, 7	nn0expcli 12886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ;;
38	37	nn0ge0i 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ;;
39	6	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ;
40	30	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ;
41	3, 39, 40	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ; $/\$ ; $/\$ ;
42		1lt10 11681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ;
43		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
44		7nn0 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
45		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
46		7lt10 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ;
47		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
48	4, 43, 44, 45, 46, 47	decltc 11532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ; ;
49	42, 48	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ; $/\$ ; ;
50		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ; $/\$ ; $/\$ ; $/\$ ; $/\$ ; ; ;; ;;
51	41, 49, 50	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ;; ;;
52	38, 51	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ;; $/\$ ;; ;;
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd $/\$ ;; $/\$ ;; ;;
54		ltmul12a 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ ;; ;; ;; ;;
55	24, 28, 35, 53, 54	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$ ;; ;;
56	20, 55	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Odd $/\$ ;; ;;
57	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$ ;;
58	22, 33	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ;;
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$ ;;
60		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$
62		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ;; $/\$ ;; $/\$ ;; ;; $/\$ ;; ;;
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Odd $/\$ ;; ;; $/\$ ;; ;;
64	56, 63	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Odd $/\$ ;; ;;
65	64	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Odd $/\$ $/\$ ;; ;;
66	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$
67	66, 57, 61	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$
69		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ ;;
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Odd $/\$ $/\$ ;; ;; $/\$ ;;
71	65, 70	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Odd $/\$ $/\$ ;; ;;
72	71	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;;
73	72	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ $/\$
74	73	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ $/\$
75		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ GoldbachOdd GoldbachOdd
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ $/\$ GoldbachOdd GoldbachOdd
77	76	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ GoldbachOdd GoldbachOdd
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 Odd $/\$ $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ GoldbachOdd GoldbachOdd
79	78	exp41 638	. . . . . . . . . . 11 Odd ;; ;; $/\$ GoldbachOdd GoldbachOdd
80	79	com25 99	. . . . . . . . . 10 Odd $/\$ GoldbachOdd ;; ;; GoldbachOdd
81	18, 80	syld 47	. . . . . . . . 9 Odd Odd $/\$ GoldbachOdd ;; ;; GoldbachOdd
82	81	com15 101	. . . . . . . 8 Odd $/\$ GoldbachOdd ;; ;; Odd GoldbachOdd
83	82	com23 86	. . . . . . 7 ;; Odd $/\$ GoldbachOdd ;; Odd GoldbachOdd
84	83	imp32 449	. . . . . 6 $/\$ ;; $/\$ Odd $/\$ GoldbachOdd ;; Odd GoldbachOdd
85	84	rexlimiva 3028	. . . . 5 ;; $/\$ Odd $/\$ GoldbachOdd ;; Odd GoldbachOdd
86	12, 85	ax-mp 5	. . . 4 ;; Odd GoldbachOdd
87		tgoldbachgtALTV 41700	. . . . 5 ;; $/\$ Odd GoldbachOdd
88		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
89	88, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 GoldbachOdd GoldbachOdd
90	89	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 Odd Odd GoldbachOdd GoldbachOdd
91		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ;; $/\$ ;; $/\$ ;;
92	61, 57, 66, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Odd $/\$ ;; $/\$ ;;
93	92	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Odd $/\$ ;; ;;
94	93	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Odd ;; ;;
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Odd ;; ;;
96	95	imp43 621	. . . . . . . . . . . . . . 15 Odd $/\$ ;; $/\$ $/\$ ;;
97		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 GoldbachOdd GoldbachOdd
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 Odd $/\$ ;; $/\$ $/\$ ;; GoldbachOdd GoldbachOdd
99	98	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . 13 Odd $/\$ ;; $/\$ $/\$ ;; GoldbachOdd GoldbachOdd
100	99	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 Odd $/\$ ;; $/\$ ;; GoldbachOdd GoldbachOdd
101	100	com23 86	. . . . . . . . . . 11 Odd $/\$ ;; GoldbachOdd $/\$ ;; GoldbachOdd
102	101	ex 450	. . . . . . . . . 10 Odd ;; GoldbachOdd $/\$ ;; GoldbachOdd
103	102	com23 86	. . . . . . . . 9 Odd GoldbachOdd ;; $/\$ ;; GoldbachOdd
104	90, 103	syld 47	. . . . . . . 8 Odd Odd GoldbachOdd ;; $/\$ ;; GoldbachOdd
105	104	com14 96	. . . . . . 7 $/\$ ;; Odd GoldbachOdd ;; Odd GoldbachOdd
106	105	impr 649	. . . . . 6 $/\$ ;; $/\$ Odd GoldbachOdd ;; Odd GoldbachOdd
107	106	rexlimiva 3028	. . . . 5 ;; $/\$ Odd GoldbachOdd ;; Odd GoldbachOdd
108	87, 107	ax-mp 5	. . . 4 ;; Odd GoldbachOdd
109	86, 108	jaoi 394	. . 3 ;; $\/$ ;; Odd GoldbachOdd
110	11, 109	mpcom 38	. 2 Odd GoldbachOdd
111	110	rgen 2922	1 Odd GoldbachOdd

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c7 11075

c8 11076

cn0 11292

cz 11377 ;cdc 11493

cexp 12860 Odd codd 41538 GoldbachOdd cgbo 41635

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-bgbltosilva 41698 ax-tgoldbachgt 41699 ax-hgprmladder 41702

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-prm 15386 df-iccp 41350 df-even 41539 df-odd 41540 df-gbe 41636 df-gbo 41638

This theorem is referenced by: (None)

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