bcmono - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcmono		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem bcmono 25002

Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcmono	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bcmono Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1065	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
2		simpl1 1064	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
3		eluzel2 11692	. . . . . 6
4	3	3ad2ant2 1083	. . . . 5 $/\$ $/\$
5	4	anim1i 592	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		elnn0z 11390	. . . 4 $/\$
7	5, 6	sylibr 224	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl3 1066	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
9		breq1 4656	. . . . . . 7
10		oveq2 6658	. . . . . . . 8
11	10	breq2d 4665	. . . . . . 7
12	9, 11	imbi12d 334	. . . . . 6
13	12	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
14		breq1 4656	. . . . . . 7
15		oveq2 6658	. . . . . . . 8
16	15	breq2d 4665	. . . . . . 7
17	14, 16	imbi12d 334	. . . . . 6
18	17	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
19		breq1 4656	. . . . . . 7
20		oveq2 6658	. . . . . . . 8
21	20	breq2d 4665	. . . . . . 7
22	19, 21	imbi12d 334	. . . . . 6
23	22	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
24		breq1 4656	. . . . . . 7
25		oveq2 6658	. . . . . . . 8
26	25	breq2d 4665	. . . . . . 7
27	24, 26	imbi12d 334	. . . . . 6
28	27	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
29		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 $/\$
30	29	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	leidd 10594	. . . . . . . 8 $/\$
32	31	a1d 25	. . . . . . 7 $/\$
33	32	expcom 451	. . . . . 6
34	33	adantrd 484	. . . . 5 $/\$
35		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37	36	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
38	37	lep1d 10955	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
39		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
41		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
43	42	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
45	37, 40, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
46	38, 45	mpand 711	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47	46	imim1d 82	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
48		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
51		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52	51	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
53	52	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	53	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
55	50, 54	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
56	54, 54	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
57	41	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
58	50	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
59	50, 54, 54, 58	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
60	52	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
61	60	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
62		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
63		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
64		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65	63, 64	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
67		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
68	54, 57, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
69	62, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	61, 69	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	55, 56, 57, 59, 70	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
72	50, 54, 57	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
73	71, 72	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
74		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	74, 75	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
77	52, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
78		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79	78	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
81	80	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
82	79, 81	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
83	57	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
84	57, 63	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
85		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
86	85	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
87		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
88	86, 87	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
89		lemulge12 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
91		ledivmul 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
92	57, 57, 66, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
93	90, 92	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	54, 83, 57, 62, 93	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
96	50, 95, 57	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
97	94, 96	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
98		elnnz1 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
99	82, 97, 98	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
100		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102	100, 101	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
104		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	104	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
106		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108	99, 106, 107	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
109		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
110	109	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
111	108, 110	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
112		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
115	112, 113, 114	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
116	105, 111, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
117	116	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	77, 103, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
120	73, 119	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121		facnn2 13069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122	99, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
124	108	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	82	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
127	124, 125, 126	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
128	123, 127	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
129	128	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
130		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131	130	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
132	50, 54, 57, 58, 94	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
133		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
134		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
135	81, 133, 79, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
136	131, 132, 135	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
137		bcval2 13092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
139	105	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
140	111	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
141	111	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
142	99	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
143	139, 140, 126, 141, 142	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
144	129, 138, 143	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
145		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
146	145	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
147		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
148	147	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
149		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
150	146, 148, 149	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
151	150	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
152	151	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
153		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154	153	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
155	152, 154	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
156	124, 125, 60	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
157	155, 156	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
159	53	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
160	52	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
161		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
162	160, 133, 79, 161	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
163	159, 94, 162	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
164		bcval2 13092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
166	52	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
167	139, 140, 60, 141, 166	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
168	158, 165, 167	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
169	120, 144, 168	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	169	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . 13
171	48, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
172	171	3impia 1261	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
173	172	3coml 1272	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
174		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
175		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15
176	175	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
177	174, 176, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
178	177	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
179		bccl 13109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
180	174, 36, 179	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
181	180	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
182	36	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
183		bccl 13109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
184	174, 182, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
185	184	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
186		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
187	178, 181, 185, 186	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	expcomd 454	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
189	173, 188	syld 47	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
190	189	a2d 29	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
191	47, 190	syld 47	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
192	191	3expib 1268	. . . . . 6 $/\$
193	192	a2d 29	. . . . 5 $/\$ $/\$
194	13, 18, 23, 28, 34, 193	uzind4 11746	. . . 4 $/\$
195	194	3imp 1256	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
196	1, 2, 7, 8, 195	syl121anc 1331	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
197		simpl1 1064	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
198	4	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
199		orc 400	. . . . 5 $\/$
200	199	adantl 482	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
201		bcval4 13094	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
202	197, 198, 200, 201	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
203		simpl2 1065	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
204		eluzelz 11697	. . . . . 6
205	203, 204	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
206		bccl 13109	. . . . 5 $/\$
207	197, 205, 206	syl2anc 693	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
208	207	nn0ge0d 11354	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
209	202, 208	eqbrtrd 4675	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
210		0re 10040	. . 3
211	4	zred 11482	. . 3 $/\$ $/\$
212		lelttric 10144	. . 3 $/\$ $\/$
213	210, 211, 212	sylancr 695	. 2 $/\$ $/\$ $\/$
214	196, 209, 213	mpjaodan 827	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cfa 13060

cbc 13089

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-seq 12802 df-fac 13061 df-bc 13090

This theorem is referenced by: bcmax 25003

W3C validator