Theorem bposlem3 25011

Description: Lemma for bpos 25018. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range ( 2 N / 3 , N ] or ( 2 N , +oo ) by bposlem2 25010 and prmfac1 15431, respectively, and it does not have any in the range ( N , 2 N ] by hypothesis, the product of the primes up through 2 N / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem bposlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . 5 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
2		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> n e. Prime )
3		5nn 11188	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. NN
4		bpos.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
5		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
6	3, 4, 5	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
7	6	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
8		fzctr 12451	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
9		bccl2 13110	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
12	2, 11	pccld 15555	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
13	12	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
14	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
15		bpos.4	. . . . . . . . 9 |- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
16		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
17		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
18	16, 6, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
19	18	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
20		3nn 11186	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
21		nndivre 11056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
22	19, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
23	22	flcld 12599	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ZZ )
24	15, 23	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
25		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. RR
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 3 e. RR )
27		5re 11099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 5 e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 e. RR )
29	6	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
30		3lt5 11201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 < 5
31	25, 27, 30	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 <_ 5
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 3 <_ 5 )
33		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 <_ N )
35	26, 28, 29, 32, 34	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 3 <_ N )
36		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
37		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
39		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 3 <_ N <-> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
40	25, 38, 39	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( 3 <_ N <-> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
41	29, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 3 <_ N <-> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
42	35, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) )
43		3pos 11114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 3
44	25, 43	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
45		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
46	36, 44, 45	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) e. RR -> ( ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
47	19, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
48	42, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
49		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
50		flge 12606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> 2 <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
51	22, 49, 50	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> 2 <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
52	48, 51	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
53	52, 15	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 <_ K )
54	49	eluz1i 11695	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. ZZ /\ 2 <_ K ) )
55	24, 53, 54	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
56		eluz2nn 11726	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
57	55, 56	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN )
58	57	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> K e. NN )
59		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
60		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( n = p -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
61	1, 14, 58, 59, 60	pcmpt 15596	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) )
62		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( p <_ K -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
63	62	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ p <_ K ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
64		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. p <_ K -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = 0 )
65	64	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = 0 )
66	24	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. RR )
67		prmz 15389	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
68	67	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
69		ltnle 10117	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ p e. RR ) -> ( K < p <-> -. p <_ K ) )
70	66, 68, 69	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( K < p <-> -. p <_ K ) )
71	70	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> K < p )
72	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> N e. NN )
73		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p e. Prime )
74	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> 2 e. RR )
75	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> K e. RR )
76	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p e. ZZ )
77	76	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p e. RR )
78	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> 2 <_ K )
79		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> K < p )
80	74, 75, 77, 78, 79	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> 2 < p )
81	15, 79	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) < p )
82	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
83		fllt 12607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR /\ p e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < p <-> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) < p ) )
84	82, 76, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < p <-> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) < p ) )
85	81, 84	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < p )
86		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p <_ N )
87	72, 73, 80, 85, 86	bposlem2 25010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
88	87	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( p <_ N -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
89		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
90	89	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
91		bpos.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
93	90, 92	pm2.21dd 186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
94	93	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ N < p ) -> ( p <_ ( 2 x. N ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
95	10	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ )
96		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
97	7, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
98	97, 97	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. NN )
99	98	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. ZZ )
100		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ /\ ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
101	95, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
102		bcctr 25000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) = ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
103	7, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) = ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) = ( ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
105	18	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
106		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 x. N ) e. NN0 -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. NN )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. NN )
108	107	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. CC )
109	98	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. CC )
110	98	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) =/= 0 )
111	108, 109, 110	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) = ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
112	104, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) = ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
113	101, 112	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
115	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. ZZ )
116	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ )
117	107	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
119		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. ZZ /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ /\ ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. ZZ ) -> ( ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) -> p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) )
120	115, 116, 118, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) -> p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) )
121	114, 120	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) -> p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) )
122		prmfac1 15431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ p e. Prime /\ p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) -> p <_ ( 2 x. N ) )
123	122	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) -> p <_ ( 2 x. N ) ) )
124	105, 123	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) -> p <_ ( 2 x. N ) ) )
125	121, 124	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) -> p <_ ( 2 x. N ) ) )
126	125	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. p <_ ( 2 x. N ) -> -. p || ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
128		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 <-> -. p || ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
129	127, 10, 128	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 <-> -. p || ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
130	126, 129	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. p <_ ( 2 x. N ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ N < p ) -> ( -. p <_ ( 2 x. N ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
132	94, 131	pm2.61d 170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ N < p ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
133	132	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( N < p -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
134	133	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( N < p -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
135		lelttric 10144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. RR /\ N e. RR ) -> ( p <_ N \/ N < p ) )
136	68, 29, 135	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p <_ N \/ N < p ) )
137	136	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( p <_ N \/ N < p ) )
138	88, 134, 137	mpjaod 396	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
139	71, 138	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
140	65, 139	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
141	63, 140	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
142	61, 141	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
143	142	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
144	1, 13	pcmptcl 15595	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
145	144	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
146	145, 57	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. NN )
147	146	nnnn0d 11351	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. NN0 )
148	10	nnnn0d 11351	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
149		pc11 15584	. . 3 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. NN0 /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
150	147, 148, 149	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
151	143, 150	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   5c5 11073   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   _C cbc 13089   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  bposlem6  25014