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Theorem faclbnd 13077

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11294	. 2 $\/$
2		oveq1 6657	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . 7
4		fveq2 6191	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 6666	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4666	. . . . . 6
7	6	imbi2d 330	. . . . 5
8		oveq1 6657	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . 7
10		fveq2 6191	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4666	. . . . . 6
13	12	imbi2d 330	. . . . 5
14		oveq1 6657	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . 7
16		fveq2 6191	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4666	. . . . . 6
19	18	imbi2d 330	. . . . 5
20		oveq1 6657	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . 7
22		fveq2 6191	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4666	. . . . . 6
25	24	imbi2d 330	. . . . 5
26		nnre 11027	. . . . . . 7
27		nnge1 11046	. . . . . . 7
28		elnnuz 11724	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 206	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 13041	. . . . . 6
31		0p1e1 11132	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 6661	. . . . . . 7
33	32	a1i 11	. . . . . 6
34		fac0 13063	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 6661	. . . . . . 7
36		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 13025	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 10068	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 10057	. . . . . . 7
40	35, 39	syl5eq 2668	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4685	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 13071	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 873	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 631	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 86	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 11435	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 13071	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 13041	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 10885	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 230	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 50	. . . . . . . 8 $/\$
126	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9
127		lelttric 10144	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
128	26, 126, 127	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
129	86, 125, 128	mpjaod 396	. . . . . . 7 $/\$
130	129	expcom 451	. . . . . 6
131	130	a2d 29	. . . . 5
132	7, 13, 19, 25, 41, 131	nn0ind 11472	. . . 4
133	132	impcom 446	. . 3 $/\$
134		faccl 13070	. . . . . . . 8
135	134	nnnn0d 11351	. . . . . . 7
136	135	nn0ge0d 11354	. . . . . 6
137		nn0p1nn 11332	. . . . . . 7
138	137	0expd 13024	. . . . . 6
139		0exp0e1 12865	. . . . . . . 8
140	139	oveq1i 6660	. . . . . . 7
141	134	nncnd 11036	. . . . . . . 8
142	141	mulid2d 10058	. . . . . . 7
143	140, 142	syl5eq 2668	. . . . . 6
144	136, 138, 143	3brtr4d 4685	. . . . 5
145		oveq1 6657	. . . . . 6
146		oveq12 6659	. . . . . . . 8 $/\$
147	146	anidms 677	. . . . . . 7
148	147	oveq1d 6665	. . . . . 6
149	145, 148	breq12d 4666	. . . . 5
150	144, 149	syl5ibr 236	. . . 4
151	150	imp 445	. . 3 $/\$
152	133, 151	jaoian 824	. 2 $\/$ $/\$
153	1, 152	sylanb 489	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cexp 12860

cfa 13060

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061

This theorem is referenced by: faclbnd2 13078 faclbnd3 13079

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