faclbnd4lem4 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > faclbnd4lem4		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem faclbnd4lem4 13083

Description: Lemma for faclbnd4 13084. Prove the

case by induction on

. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd4lem4	$/\$ $/\$

Proof of Theorem faclbnd4lem4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
2		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
3	1, 2	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
5	4	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
6	3, 5	breq12d 4666	. . . . . . . . 9
7	6	cbvralv 3171	. . . . . . . 8
8		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14
9		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14
10		lelttric 10144	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
11	8, 9, 10	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
12	11	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$
13		andi 911	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
14	12, 13	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$
15		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
17	8, 9, 16	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
18	17	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
19	18	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
20	15, 19	mpidan 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
25		faclbnd4lem3 13082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
26	24, 25	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
27	26	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
28		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29		nnsub 11059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
30	28, 29	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	30	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	32, 33	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	34, 36	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14
39	31, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
41	27, 40	jaodan 826	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
42	14, 41	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43		faclbnd4lem2 13081	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45	42, 44	syld 47	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
46	45	ralrimdva 2969	. . . . . . . 8 $/\$
47	7, 46	syl5bi 232	. . . . . . 7 $/\$
48	47	expcom 451	. . . . . 6
49	48	a2d 29	. . . . 5
50		nnnn0 11299	. . . . . . . 8
51		faclbnd3 13079	. . . . . . . 8 $/\$
52	50, 51	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$
53		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11
54	53	exp0d 13002	. . . . . . . . . 10
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
56	55	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
57		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10
58		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 $/\$
59	57, 50, 58	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$
60	59	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 $/\$
61	56, 60	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
62		sq0 12955	. . . . . . . . . . . . . 14
63	62	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
64		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14
65		exp0 12864	. . . . . . . . . . . . . 14
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
67	63, 66	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
69	57	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . 12
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
71	68, 70	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
72		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	57, 72	mpancom 703	. . . . . . . . . . 11
74	73	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10
75	71, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
77	76	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
78	52, 61, 77	3brtr4d 4685	. . . . . 6 $/\$
79	78	ralrimiva 2966	. . . . 5
80		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
82		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
84		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
86	83, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
88	81, 87	breq12d 4666	. . . . . . 7
89	88	ralbidv 2986	. . . . . 6
90	89	imbi2d 330	. . . . 5
91		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
93		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
95		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
97	94, 96	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
99	92, 98	breq12d 4666	. . . . . . 7
100	99	ralbidv 2986	. . . . . 6
101	100	imbi2d 330	. . . . 5
102		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
104		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
106		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
107	106	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
108	105, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
109	108	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
110	103, 109	breq12d 4666	. . . . . . 7
111	110	ralbidv 2986	. . . . . 6
112	111	imbi2d 330	. . . . 5
113		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
115		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
117		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
118	117	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
119	116, 118	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
120	119	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
121	114, 120	breq12d 4666	. . . . . . 7
122	121	ralbidv 2986	. . . . . 6
123	122	imbi2d 330	. . . . 5
124	49, 79, 90, 101, 112, 123	nn0indALT 11473	. . . 4
125	124	imp 445	. . 3 $/\$
126		oveq1 6657	. . . . . 6
127		oveq2 6658	. . . . . 6
128	126, 127	oveq12d 6668	. . . . 5
129		fveq2 6191	. . . . . 6
130	129	oveq2d 6666	. . . . 5
131	128, 130	breq12d 4666	. . . 4
132	131	rspcva 3307	. . 3 $/\$
133	125, 132	sylan2 491	. 2 $/\$ $/\$
134	133	3impb 1260	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cexp 12860

cfa 13060

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061

This theorem is referenced by: faclbnd4 13084

W3C validator