Theorem tgoldbachOLD 41712

Description: Obsolete version of tgoldbach 41705 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachOLD	|- A. n e. Odd ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgoldbachOLD

Dummy variables m o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 41544	. . . . 5 |- ( n e. Odd -> n e. ZZ )
2	1	zred 11482	. . . 4 |- ( n e. Odd -> n e. RR )
3		10reOLD 11109	. . . . 5 |- 10 e. RR
4		2nn0 11309	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
5		7nn 11190	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
6	4, 5	decnncl 11518	. . . . . 6 |- ; 2 7 e. NN
7	6	nnnn0i 11300	. . . . 5 |- ; 2 7 e. NN0
8		reexpcl 12877	. . . . 5 |- ( ( 10 e. RR /\ ; 2 7 e. NN0 ) -> ( 10 ^; 2 7 ) e. RR )
9	3, 7, 8	mp2an 708	. . . 4 |- ( 10 ^; 2 7 ) e. RR
10		lelttric 10144	. . . 4 |- ( ( n e. RR /\ ( 10 ^; 2 7 ) e. RR ) -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) \/ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) )
11	2, 9, 10	sylancl 694	. . 3 |- ( n e. Odd -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) \/ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) )
12		tgoldbachltOLD 41710	. . . . 5 |- E. m e. NN ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m /\ A. o e. Odd ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) )
13		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o = n -> ( 7 < o <-> 7 < n ) )
14		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o = n -> ( o < m <-> n < m ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = n -> ( ( 7 < o /\ o < m ) <-> ( 7 < n /\ n < m ) ) )
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = n -> ( o e. GoldbachOdd <-> n e. GoldbachOdd ) )
17	15, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = n -> ( ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) <-> ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) ) )
18	17	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Odd -> ( A. o e. Odd ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) -> ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) ) )
19	9	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 10 ^; 2 7 ) e. CC
20	19	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 x. ( 10 ^; 2 7 ) ) = ( 10 ^; 2 7 )
21		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. RR
22		8re 11105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 8 e. RR
23	21, 22	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 1 e. RR /\ 8 e. RR )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( 1 e. RR /\ 8 e. RR ) )
25		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 <_ 1
26		1lt8 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 < 8
27	25, 26	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 <_ 1 /\ 1 < 8 )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( 0 <_ 1 /\ 1 < 8 ) )
29		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 3 e. NN
30	29	decnncl2 11525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ; 3 0 e. NN
31	30	nnnn0i 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ; 3 0 e. NN0
32		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 10 e. RR /\ ; 3 0 e. NN0 ) -> ( 10 ^; 3 0 ) e. RR )
33	3, 31, 32	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 10 ^; 3 0 ) e. RR
34	9, 33	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ ( 10 ^; 3 0 ) e. RR )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ ( 10 ^; 3 0 ) e. RR ) )
36		10nn0OLD 11317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 10 e. NN0
37	36, 7	nn0expcli 12886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 10 ^; 2 7 ) e. NN0
38	37	nn0ge0i 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 <_ ( 10 ^; 2 7 )
39	6	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ; 2 7 e. ZZ
40	30	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ; 3 0 e. ZZ
41	3, 39, 40	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 10 e. RR /\ ; 2 7 e. ZZ /\ ; 3 0 e. ZZ )
42		1lt10OLD 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 < 10
43		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 3 e. NN0
44		7nn0 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 7 e. NN0
45		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 e. NN0
46		7lt10OLD 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 7 < 10
47		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 2 < 3
48	4, 43, 44, 45, 46, 47	decltcOLD 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ; 2 7 < ; 3 0
49	42, 48	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 1 < 10 /\ ; 2 7 < ; 3 0 )
50		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( 10 e. RR /\ ; 2 7 e. ZZ /\ ; 3 0 e. ZZ ) /\ ( 1 < 10 /\ ; 2 7 < ; 3 0 ) ) -> ( 10 ^; 2 7 ) < ( 10 ^; 3 0 ) )
51	41, 49, 50	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 10 ^; 2 7 ) < ( 10 ^; 3 0 )
52	38, 51	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ ( 10 ^; 2 7 ) < ( 10 ^; 3 0 ) )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( 0 <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ ( 10 ^; 2 7 ) < ( 10 ^; 3 0 ) ) )
54		ltmul12a 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 8 e. RR ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 8 ) ) /\ ( ( ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ ( 10 ^; 3 0 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ ( 10 ^; 2 7 ) < ( 10 ^; 3 0 ) ) ) ) -> ( 1 x. ( 10 ^; 2 7 ) ) < ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) )
55	24, 28, 35, 53, 54	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( 1 x. ( 10 ^; 2 7 ) ) < ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) )
56	20, 55	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( 10 ^; 2 7 ) < ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) )
57	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( 10 ^; 2 7 ) e. RR )
58	22, 33	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) e. RR )
60		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN -> m e. RR )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> m e. RR )
62		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( ( 10 ^; 2 7 ) < ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) -> ( 10 ^; 2 7 ) < m ) )
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( ( ( 10 ^; 2 7 ) < ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) -> ( 10 ^; 2 7 ) < m ) )
64	56, 63	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m -> ( 10 ^; 2 7 ) < m ) )
65	64	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) -> ( 10 ^; 2 7 ) < m )
66	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> n e. RR )
67	66, 57, 61	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( n e. RR /\ ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ m e. RR ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) -> ( n e. RR /\ ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ m e. RR ) )
69		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. RR /\ ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ ( 10 ^; 2 7 ) < m ) -> n < m ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) -> ( ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ ( 10 ^; 2 7 ) < m ) -> n < m ) )
71	65, 70	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> n < m ) )
72	71	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) /\ n <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> n < m )
73	72	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) /\ n <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) /\ 7 < n ) -> ( n < m /\ 7 < n ) )
74	73	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) /\ n <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) /\ 7 < n ) -> ( 7 < n /\ n < m ) )
75		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 7 < n /\ n < m ) -> ( ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) -> n e. GoldbachOdd ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) /\ n <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) /\ 7 < n ) -> ( ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) -> n e. GoldbachOdd ) )
77	76	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) /\ n <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( 7 < n -> ( ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) -> n e. GoldbachOdd ) ) )
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) /\ ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m ) /\ n <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) )
79	78	exp41 638	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Odd -> ( m e. NN -> ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) ) )
80	79	com25 99	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Odd -> ( ( ( 7 < n /\ n < m ) -> n e. GoldbachOdd ) -> ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( m e. NN -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) ) )
81	18, 80	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Odd -> ( A. o e. Odd ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) -> ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( m e. NN -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) ) )
82	81	com15 101	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( A. o e. Odd ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) -> ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) ) )
83	82	com23 86	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m -> ( A. o e. Odd ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) ) )
84	83	imp32 449	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m /\ A. o e. Odd ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) ) ) -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) )
85	84	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. m e. NN ( ( 8 x. ( 10 ^; 3 0 ) ) < m /\ A. o e. Odd ( ( 7 < o /\ o < m ) -> o e. GoldbachOdd ) ) -> ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) )
86	12, 85	ax-mp 5	. . . 4 |- ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) )
87		ax-tgoldbachgtOLD 41711	. . . . 5 |- E. m e. NN ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ A. o e. Odd ( m < o -> o e. GoldbachOdd ) )
88		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = n -> ( m < o <-> m < n ) )
89	88, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( o = n -> ( ( m < o -> o e. GoldbachOdd ) <-> ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) ) )
90	89	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Odd -> ( A. o e. Odd ( m < o -> o e. GoldbachOdd ) -> ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) ) )
91		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. RR /\ ( 10 ^; 2 7 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) -> m < n ) )
92	61, 57, 66, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) -> m < n ) )
93	92	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. Odd /\ m e. NN ) -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> m < n ) ) )
94	93	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Odd -> ( m e. NN -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> m < n ) ) ) )
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Odd -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( m e. NN -> ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) -> m < n ) ) ) )
96	95	imp43 621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Odd /\ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) /\ ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) ) -> m < n )
97		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m < n -> ( ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) -> n e. GoldbachOdd ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. Odd /\ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) /\ ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) ) -> ( ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) -> n e. GoldbachOdd ) )
99	98	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. Odd /\ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) /\ ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) ) -> ( ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) )
100	99	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Odd /\ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) -> ( ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) )
101	100	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. Odd /\ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) -> ( ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) -> ( ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) )
102	101	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Odd -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) -> ( ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) )
103	102	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Odd -> ( ( m < n -> n e. GoldbachOdd ) -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) )
104	90, 103	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( n e. Odd -> ( A. o e. Odd ( m < o -> o e. GoldbachOdd ) -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) )
105	104	com14 96	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN /\ m <_ ( 10 ^; 2 7 ) ) -> ( A. o e. Odd ( m < o -> o e. GoldbachOdd ) -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) ) )
106	105	impr 649	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ A. o e. Odd ( m < o -> o e. GoldbachOdd ) ) ) -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) )
107	106	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. m e. NN ( m <_ ( 10 ^; 2 7 ) /\ A. o e. Odd ( m < o -> o e. GoldbachOdd ) ) -> ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) ) )
108	87, 107	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 10 ^; 2 7 ) < n -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) )
109	86, 108	jaoi 394	. . 3 |- ( ( n <_ ( 10 ^; 2 7 ) \/ ( 10 ^; 2 7 ) < n ) -> ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) ) )
110	11, 109	mpcom 38	. 2 |- ( n e. Odd -> ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd ) )
111	110	rgen 2922	1 |- A. n e. Odd ( 7 < n -> n e. GoldbachOdd )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   7c7 11075   8c8 11076   10c10 11078   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ^cexp 12860   Odd codd 41538   GoldbachOdd cgbo 41635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-bgbltosilvaOLD 41706  ax-hgprmladderOLD 41708  ax-tgoldbachgtOLD 41711

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-10OLD 11087  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-iccp 41350  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbe 41636  df-gbo 41638

This theorem is referenced by: (None)