Theorem icccmplem2 22626

Description: Lemma for icccmp 22628. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	|- J = ( topGen ` ran (,) )
icccmp.2	|- T = ( J ↾t ( A [,] B ) )
icccmp.3	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
icccmp.4	|- S = { x e. ( A [,] B ) | E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] x ) C_ U. z }
icccmp.5	|- ( ph -> A e. RR )
icccmp.6	|- ( ph -> B e. RR )
icccmp.7	|- ( ph -> A <_ B )
icccmp.8	|- ( ph -> U C_ J )
icccmp.9	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ U. U )
icccmp.10	|- ( ph -> V e. U )
icccmp.11	|- ( ph -> C e. RR+ )
icccmp.12	|- ( ph -> ( G ( ball ` D ) C ) C_ V )
icccmp.13	|- G = sup ( S , RR , < )
icccmp.14	|- R = if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B )

Assertion

Ref	Expression
icccmplem2	|- ( ph -> B e. S )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, A, z   x, D   x, T, z   z, J   x, U, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   C( x, z)   D( z)   R( x, z)   S( x, z)   G( x, z)   J( x)   V( x, z)

Proof of Theorem icccmplem2

Dummy variables t n v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.13	. . . . . . 7 |- G = sup ( S , RR , < )
2		icccmp.4	. . . . . . . . . 10 |- S = { x e. ( A [,] B ) | E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] x ) C_ U. z }
3		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ( A [,] B ) | E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] x ) C_ U. z } C_ ( A [,] B )
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( A [,] B )
5		icccmp.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
6		icccmp.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
7		iccssre 12255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
9	4, 8	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ RR )
10		icccmp.1	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( topGen ` ran (,) )
11		icccmp.2	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( J ↾t ( A [,] B ) )
12		icccmp.3	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
13		icccmp.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A <_ B )
14		icccmp.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U C_ J )
15		icccmp.9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ U. U )
16	10, 11, 12, 2, 5, 6, 13, 14, 15	icccmplem1 22625	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. S /\ A. y e. S y <_ B ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. S )
18		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( A e. S -> S =/= (/) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S =/= (/) )
20	16	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. S y <_ B )
21		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = B -> ( y <_ n <-> y <_ B ) )
22	21	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( n = B -> ( A. y e. S y <_ n <-> A. y e. S y <_ B ) )
23	22	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A. y e. S y <_ B ) -> E. n e. RR A. y e. S y <_ n )
24	6, 20, 23	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. n e. RR A. y e. S y <_ n )
25		suprcl 10983	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. n e. RR A. y e. S y <_ n ) -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
26	9, 19, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
27	1, 26	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. RR )
28		icccmp.11	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR+ )
29	28	rphalfcld 11884	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR+ )
30	27, 29	ltaddrpd 11905	. . . . 5 |- ( ph -> G < ( G + ( C / 2 ) ) )
31	29	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR )
32	27, 31	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G + ( C / 2 ) ) e. RR )
33	27, 32	ltnled 10184	. . . . 5 |- ( ph -> ( G < ( G + ( C / 2 ) ) <-> -. ( G + ( C / 2 ) ) <_ G ) )
34	30, 33	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> -. ( G + ( C / 2 ) ) <_ G )
35		icccmp.14	. . . . . . . . . 10 |- R = if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B )
36	32, 6	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) e. RR )
37	35, 36	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR )
38		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. n e. RR A. y e. S y <_ n ) /\ A e. S ) -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
39	9, 19, 24, 17, 38	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
40	39, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ G )
41	27, 32, 30	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G <_ ( G + ( C / 2 ) ) )
42	5, 27, 32, 40, 41	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A <_ ( G + ( C / 2 ) ) )
43		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G + ( C / 2 ) ) = if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) -> ( A <_ ( G + ( C / 2 ) ) <-> A <_ if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) ) )
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) -> ( A <_ B <-> A <_ if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) ) )
45	43, 44	ifboth 4124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <_ ( G + ( C / 2 ) ) /\ A <_ B ) -> A <_ if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) )
46	42, 13, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A <_ if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) )
47	46, 35	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A <_ R )
48		min2 12021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G + ( C / 2 ) ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) <_ B )
49	32, 6, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) <_ B )
50	35, 49	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <_ B )
51		elicc2 12238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( R e. ( A [,] B ) <-> ( R e. RR /\ A <_ R /\ R <_ B ) ) )
52	5, 6, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R e. ( A [,] B ) <-> ( R e. RR /\ A <_ R /\ R <_ B ) ) )
53	37, 47, 50, 52	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. ( A [,] B ) )
54	27, 28	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G - C ) < G )
55	54, 1	syl6breq 4694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G - C ) < sup ( S , RR , < ) )
56	28	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
57	27, 56	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G - C ) e. RR )
58		suprlub 10987	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. n e. RR A. y e. S y <_ n ) /\ ( G - C ) e. RR ) -> ( ( G - C ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. v e. S ( G - C ) < v ) )
59	9, 19, 24, 57, 58	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G - C ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. v e. S ( G - C ) < v ) )
60	55, 59	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. v e. S ( G - C ) < v )
61		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = v -> ( A [,] x ) = ( A [,] v ) )
62	61	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = v -> ( ( A [,] x ) C_ U. z <-> ( A [,] v ) C_ U. z ) )
63	62	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = v -> ( E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] x ) C_ U. z <-> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. z ) )
64	63, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. S <-> ( v e. ( A [,] B ) /\ E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. z ) )
65		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> U. z = U. w )
66	65	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( ( A [,] v ) C_ U. z <-> ( A [,] v ) C_ U. w ) )
67	66	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. z <-> E. w e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. w )
68		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> w e. ( ~P U i^i Fin ) )
69		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( ~P U i^i Fin ) <-> ( w e. ~P U /\ w e. Fin ) )
70	68, 69	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( w e. ~P U /\ w e. Fin ) )
71	70	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> w e. ~P U )
72	71	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> w C_ U )
73		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ph )
74		icccmp.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> V e. U )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> V e. U )
76	75	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> { V } C_ U )
77	72, 76	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( w u. { V } ) C_ U )
78		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- w e. _V
79		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { V } e. _V
80	78, 79	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w u. { V } ) e. _V
81	80	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w u. { V } ) e. ~P U <-> ( w u. { V } ) C_ U )
82	77, 81	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( w u. { V } ) e. ~P U )
83	70	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> w e. Fin )
84		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { V } e. Fin
85		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. Fin /\ { V } e. Fin ) -> ( w u. { V } ) e. Fin )
86	83, 84, 85	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( w u. { V } ) e. Fin )
87	82, 86	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( w u. { V } ) e. ( ~P U i^i Fin ) )
88		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> ( A [,] v ) C_ U. w )
89		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U. w C_ ( U. w u. V )
90	88, 89	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> ( A [,] v ) C_ ( U. w u. V ) )
91	73, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> A e. RR )
92	73, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> R e. RR )
93		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. RR /\ R e. RR ) -> ( t e. ( A [,] R ) <-> ( t e. RR /\ A <_ t /\ t <_ R ) ) )
94	91, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( t e. ( A [,] R ) <-> ( t e. RR /\ A <_ t /\ t <_ R ) ) )
95	94	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> ( t e. RR /\ A <_ t /\ t <_ R ) )
96	95	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> t e. RR )
97	96	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> t e. RR )
98	95	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> A <_ t )
99	98	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> A <_ t )
100		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> t <_ v )
101	73, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
102		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> v e. ( A [,] B ) )
103	101, 102	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> v e. RR )
104		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. RR /\ v e. RR ) -> ( t e. ( A [,] v ) <-> ( t e. RR /\ A <_ t /\ t <_ v ) ) )
105	91, 103, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( t e. ( A [,] v ) <-> ( t e. RR /\ A <_ t /\ t <_ v ) ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> ( t e. ( A [,] v ) <-> ( t e. RR /\ A <_ t /\ t <_ v ) ) )
107	97, 99, 100, 106	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> t e. ( A [,] v ) )
108	90, 107	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ t <_ v ) ) -> t e. ( U. w u. V ) )
109	108	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> ( t <_ v -> t e. ( U. w u. V ) ) )
110	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ph )
111		icccmp.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( G ( ball ` D ) C ) C_ V )
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ( G ( ball ` D ) C ) C_ V )
113	96	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> t e. RR )
114	110, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ( G - C ) e. RR )
115	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> v e. RR )
116		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ( G - C ) < v )
117		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> v < t )
118	114, 115, 113, 116, 117	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ( G - C ) < t )
119	110, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> R e. RR )
120	27, 56	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( G + C ) e. RR )
121	110, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ( G + C ) e. RR )
122	95	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> t <_ R )
123	122	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> t <_ R )
124		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( G + ( C / 2 ) ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) <_ ( G + ( C / 2 ) ) )
125	32, 6, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) <_ ( G + ( C / 2 ) ) )
126	35, 125	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> R <_ ( G + ( C / 2 ) ) )
127		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( C e. RR+ -> ( C / 2 ) < C )
128	28, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> ( C / 2 ) < C )
129	31, 56, 27, 128	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( G + ( C / 2 ) ) < ( G + C ) )
130	37, 32, 120, 126, 129	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> R < ( G + C ) )
131	110, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> R < ( G + C ) )
132	113, 119, 121, 123, 131	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> t < ( G + C ) )
133		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( G - C ) e. RR -> ( G - C ) e. RR* )
134		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( G + C ) e. RR -> ( G + C ) e. RR* )
135		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( G - C ) e. RR* /\ ( G + C ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( G - C ) (,) ( G + C ) ) <-> ( t e. RR /\ ( G - C ) < t /\ t < ( G + C ) ) ) )
136	133, 134, 135	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( G - C ) e. RR /\ ( G + C ) e. RR ) -> ( t e. ( ( G - C ) (,) ( G + C ) ) <-> ( t e. RR /\ ( G - C ) < t /\ t < ( G + C ) ) ) )
137	114, 121, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ( t e. ( ( G - C ) (,) ( G + C ) ) <-> ( t e. RR /\ ( G - C ) < t /\ t < ( G + C ) ) ) )
138	113, 118, 132, 137	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> t e. ( ( G - C ) (,) ( G + C ) ) )
139	110, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> G e. RR )
140	110, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> C e. RR+ )
141	140	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> C e. RR )
142	12	bl2ioo 22595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. RR /\ C e. RR ) -> ( G ( ball ` D ) C ) = ( ( G - C ) (,) ( G + C ) ) )
143	139, 141, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> ( G ( ball ` D ) C ) = ( ( G - C ) (,) ( G + C ) ) )
144	138, 143	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> t e. ( G ( ball ` D ) C ) )
145	112, 144	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> t e. V )
146		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t e. V -> t e. ( U. w u. V ) )
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ ( t e. ( A [,] R ) /\ v < t ) ) -> t e. ( U. w u. V ) )
148	147	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> ( v < t -> t e. ( U. w u. V ) ) )
149	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> v e. RR )
150		lelttric 10144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( t e. RR /\ v e. RR ) -> ( t <_ v \/ v < t ) )
151	96, 149, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> ( t <_ v \/ v < t ) )
152	109, 148, 151	mpjaod 396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) /\ t e. ( A [,] R ) ) -> t e. ( U. w u. V ) )
153	152	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( t e. ( A [,] R ) -> t e. ( U. w u. V ) ) )
154	153	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( A [,] R ) C_ ( U. w u. V ) )
155		uniun 4456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. ( w u. { V } ) = ( U. w u. U. { V } )
156		unisng 4452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( V e. U -> U. { V } = V )
157	75, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> U. { V } = V )
158	157	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( U. w u. U. { V } ) = ( U. w u. V ) )
159	155, 158	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> U. ( w u. { V } ) = ( U. w u. V ) )
160	154, 159	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> ( A [,] R ) C_ U. ( w u. { V } ) )
161		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( w u. { V } ) -> U. y = U. ( w u. { V } ) )
162	161	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( w u. { V } ) -> ( ( A [,] R ) C_ U. y <-> ( A [,] R ) C_ U. ( w u. { V } ) ) )
163	162	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w u. { V } ) e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] R ) C_ U. ( w u. { V } ) ) -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y )
164	87, 160, 163	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ ( A [,] v ) C_ U. w /\ ( G - C ) < v ) ) -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y )
165	164	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) -> ( w e. ( ~P U i^i Fin ) -> ( ( A [,] v ) C_ U. w -> ( ( G - C ) < v -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) ) ) )
166	165	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) -> ( E. w e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. w -> ( ( G - C ) < v -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) ) )
167	67, 166	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( A [,] B ) ) -> ( E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. z -> ( ( G - C ) < v -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) ) )
168	167	expimpd 629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v e. ( A [,] B ) /\ E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. z ) -> ( ( G - C ) < v -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) ) )
169	64, 168	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( v e. S -> ( ( G - C ) < v -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) ) )
170	169	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. v e. S ( G - C ) < v -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) )
171	60, 170	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y )
172		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = R -> ( A [,] v ) = ( A [,] R ) )
173	172	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( v = R -> ( ( A [,] v ) C_ U. y <-> ( A [,] R ) C_ U. y ) )
174	173	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( v = R -> ( E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. y <-> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) )
175		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> U. z = U. y )
176	175	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( A [,] v ) C_ U. z <-> ( A [,] v ) C_ U. y ) )
177	176	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. z <-> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. y )
178	63, 177	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] x ) C_ U. z <-> E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. y ) )
179	178	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ( A [,] B ) | E. z e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] x ) C_ U. z } = { v e. ( A [,] B ) | E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. y }
180	2, 179	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- S = { v e. ( A [,] B ) | E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] v ) C_ U. y }
181	174, 180	elrab2 3366	. . . . . . . 8 |- ( R e. S <-> ( R e. ( A [,] B ) /\ E. y e. ( ~P U i^i Fin ) ( A [,] R ) C_ U. y ) )
182	53, 171, 181	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. S )
183		suprub 10984	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. n e. RR A. y e. S y <_ n ) /\ R e. S ) -> R <_ sup ( S , RR , < ) )
184	9, 19, 24, 182, 183	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ph -> R <_ sup ( S , RR , < ) )
185	184, 1	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( ph -> R <_ G )
186		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B -> if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) = ( G + ( C / 2 ) ) )
187	35, 186	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B -> R = ( G + ( C / 2 ) ) )
188	187	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B -> ( R <_ G <-> ( G + ( C / 2 ) ) <_ G ) )
189	185, 188	syl5ibcom 235	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B -> ( G + ( C / 2 ) ) <_ G ) )
190	34, 189	mtod 189	. . 3 |- ( ph -> -. ( G + ( C / 2 ) ) <_ B )
191		iffalse 4095	. . . 4 |- ( -. ( G + ( C / 2 ) ) <_ B -> if ( ( G + ( C / 2 ) ) <_ B , ( G + ( C / 2 ) ) , B ) = B )
192	35, 191	syl5eq 2668	. . 3 |- ( -. ( G + ( C / 2 ) ) <_ B -> R = B )
193	190, 192	syl 17	. 2 |- ( ph -> R = B )
194	193, 182	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> B e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  icccmplem3  22627