Theorem lfl0 34352

Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 28901 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0.d	|- D = (Scalar ` W )
lfl0.o	|- .0. = ( 0g ` D )
lfl0.z	|- Z = ( 0g ` W )
lfl0.f	|- F = (LFnl ` W )

Assertion

Ref	Expression
lfl0	|- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( G ` Z ) = .0. )

Proof of Theorem lfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> W e. LMod )
2		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> G e. F )
3		lfl0.d	. . . . . . 7 |- D = (Scalar ` W )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` D ) = ( 1r ` D )
6	3, 4, 5	lmod1cl 18890	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` D ) e. ( Base ` D ) )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( 1r ` D ) e. ( Base ` D ) )
8		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
9		lfl0.z	. . . . . . 7 |- Z = ( 0g ` W )
10	8, 9	lmod0vcl 18892	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> Z e. ( Base ` W ) )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> Z e. ( Base ` W ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
13		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` D ) = ( +g ` D )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` D ) = ( .r ` D )
16		lfl0.f	. . . . . 6 |- F = (LFnl ` W )
17	8, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16	lfli 34348	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( ( 1r ` D ) e. ( Base ` D ) /\ Z e. ( Base ` W ) /\ Z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` ( ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) ( +g ` W ) Z ) ) = ( ( ( 1r ` D ) ( .r ` D ) ( G ` Z ) ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) )
18	1, 2, 7, 11, 11, 17	syl113anc 1338	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( G ` ( ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) ( +g ` W ) Z ) ) = ( ( ( 1r ` D ) ( .r ` D ) ( G ` Z ) ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) )
19	8, 3, 13, 4	lmodvscl 18880	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` D ) e. ( Base ` D ) /\ Z e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) e. ( Base ` W ) )
20	1, 7, 11, 19	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) e. ( Base ` W ) )
21	8, 12, 9	lmod0vrid 18894	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) ( +g ` W ) Z ) = ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) )
22	20, 21	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) ( +g ` W ) Z ) = ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) )
23	8, 3, 13, 5	lmodvs1 18891	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ Z e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) = Z )
24	11, 23	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) = Z )
25	22, 24	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) ( +g ` W ) Z ) = Z )
26	25	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( G ` ( ( ( 1r ` D ) ( .s ` W ) Z ) ( +g ` W ) Z ) ) = ( G ` Z ) )
27	3	lmodring 18871	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> D e. Ring )
28	27	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> D e. Ring )
29	3, 4, 8, 16	lflcl 34351	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ Z e. ( Base ` W ) ) -> ( G ` Z ) e. ( Base ` D ) )
30	11, 29	mpd3an3 1425	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( G ` Z ) e. ( Base ` D ) )
31	4, 15, 5	ringlidm 18571	. . . . . 6 |- ( ( D e. Ring /\ ( G ` Z ) e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1r ` D ) ( .r ` D ) ( G ` Z ) ) = ( G ` Z ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( 1r ` D ) ( .r ` D ) ( G ` Z ) ) = ( G ` Z ) )
33	32	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( ( 1r ` D ) ( .r ` D ) ( G ` Z ) ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) = ( ( G ` Z ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) )
34	18, 26, 33	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( G ` Z ) = ( ( G ` Z ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) )
35	34	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( G ` Z ) ( -g ` D ) ( G ` Z ) ) = ( ( ( G ` Z ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) ( -g ` D ) ( G ` Z ) ) )
36		ringgrp 18552	. . . 4 |- ( D e. Ring -> D e. Grp )
37	28, 36	syl 17	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> D e. Grp )
38		lfl0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` D )
39		eqid 2622	. . . 4 |- ( -g ` D ) = ( -g ` D )
40	4, 38, 39	grpsubid 17499	. . 3 |- ( ( D e. Grp /\ ( G ` Z ) e. ( Base ` D ) ) -> ( ( G ` Z ) ( -g ` D ) ( G ` Z ) ) = .0. )
41	37, 30, 40	syl2anc 693	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( G ` Z ) ( -g ` D ) ( G ` Z ) ) = .0. )
42	4, 14, 39	grppncan 17506	. . 3 |- ( ( D e. Grp /\ ( G ` Z ) e. ( Base ` D ) /\ ( G ` Z ) e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( G ` Z ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) ( -g ` D ) ( G ` Z ) ) = ( G ` Z ) )
43	37, 30, 30, 42	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( ( ( G ` Z ) ( +g ` D ) ( G ` Z ) ) ( -g ` D ) ( G ` Z ) ) = ( G ` Z ) )
44	35, 41, 43	3eqtr3rd 2665	1 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( G ` Z ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  LFnlclfn 34344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lfl 34345

This theorem is referenced by:  lflmul  34355  lkrlss  34382  dochkr1  36767  lcfrlem28  36859  hdmapip0  37207