Theorem limsupre3uzlem 39967

Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller or equal than the function, infinitely often; 2. there is a real number that is eventually larger or equal than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre3uzlem.1	|- F/_ j F
limsupre3uzlem.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
limsupre3uzlem.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
limsupre3uzlem.4	|- ( ph -> F : Z --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
limsupre3uzlem	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, x   j, M, k   j, Z, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   F( j)   M( x)

Proof of Theorem limsupre3uzlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupre3uzlem.1	. . 3 |- F/_ j F
2		limsupre3uzlem.3	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		uzssre 39620	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . 4 |- Z C_ RR
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Z C_ RR )
6		limsupre3uzlem.4	. . 3 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
7	1, 5, 6	limsupre3 39965	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) ) )
8		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = k -> ( y <_ j <-> k <_ j ) )
9	8	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( y = k -> ( ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( y = k -> ( E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
11	10	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
12	11	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
13		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ k A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) )
14		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> k e. Z )
15	4, 14	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> k e. RR )
16		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. RR ) -> E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
17	15, 16	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
18		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j k e. Z
19		nfre1 3005	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` k )
21	2	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
22	21	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> k e. ZZ )
23	2	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
24	23	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ZZ )
25		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> k <_ j )
26	20, 22, 24, 25	eluzd 39635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) )
27	26	3adant3r 1323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) )
28		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> x <_ ( F ` j ) )
29		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` k ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
31	30	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> ( j e. Z -> ( ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) ) )
32	18, 19, 31	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z -> ( E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
33	32	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. Z /\ E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
34	14, 17, 33	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
35	13, 34	ralrimia 39315	. . . . . . 7 |- ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
36	12, 35	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
37	36	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
38		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M <_ (⌈ ` y ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) = (⌈ ` y ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` y ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) = (⌈ ` y ) )
40		limsupre3uzlem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ZZ )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` y ) ) -> M e. ZZ )
42		ceilcl 12643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> (⌈ ` y ) e. ZZ )
43	42	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` y ) ) -> (⌈ ` y ) e. ZZ )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` y ) ) -> M <_ (⌈ ` y ) )
45	2, 41, 43, 44	eluzd 39635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` y ) ) -> (⌈ ` y ) e. Z )
46	39, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` y ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z )
47		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M <_ (⌈ ` y ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) = M )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. M <_ (⌈ ` y ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) = M )
49	40, 2	uzidd2 39643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. Z )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. M <_ (⌈ ` y ) ) -> M e. Z )
51	48, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. M <_ (⌈ ` y ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z )
52	51	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ -. M <_ (⌈ ` y ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z )
53	46, 52	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z )
54	53	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z )
55		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) )
57	56	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . 10 |- ( k = if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) -> ( E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) ) )
58	57	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) )
59	54, 55, 58	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) )
60		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ph
61	18	nfci 2754	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j Z
62	61, 19	nfral 2945	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j )
63	60, 62	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
64		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j y e. RR
65	63, 64	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR )
66		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 |- F/ j E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) )
67	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> M e. ZZ )
68		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) -> j e. ZZ )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> j e. ZZ )
70	67	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> M e. RR )
71	4, 53	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. RR )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. RR )
73	69	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> j e. RR )
74	4, 49	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. RR )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> M e. RR )
76	42	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR -> (⌈ ` y ) e. RR )
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> (⌈ ` y ) e. RR )
78		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. RR /\ (⌈ ` y ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) )
79	75, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> M <_ if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> M <_ if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) )
81		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) <_ j )
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) <_ j )
83	70, 72, 73, 80, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> M <_ j )
84	2, 67, 69, 83	eluzd 39635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> j e. Z )
85	84	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> j e. Z )
86		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> y e. RR )
87		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
88		ceilge 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR -> y <_ (⌈ ` y ) )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y <_ (⌈ ` y ) )
90		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. RR /\ (⌈ ` y ) e. RR ) -> (⌈ ` y ) <_ if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) )
91	75, 77, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> (⌈ ` y ) <_ if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) )
92	87, 77, 71, 89, 91	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y <_ if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> y <_ if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) )
94	86, 72, 73, 93, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> y <_ j )
95	94	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> y <_ j )
96		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> x <_ ( F ` j ) )
97	95, 96	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
98		rspe 3003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
99	85, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
100	99	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) -> ( x <_ ( F ` j ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) )
101	100	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) -> ( x <_ ( F ` j ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) )
102	65, 66, 101	rexlimd 3026	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> ( E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
103	59, 102	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
104	103	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) -> A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
105	104	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) -> A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
106	37, 105	impbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
107	106	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
108	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z )
109	60, 64	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ y e. RR )
110		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ j A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x )
111	109, 110	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
112	94	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> y <_ j )
113		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
114	84	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> j e. Z )
115		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z ) -> ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
116	113, 114, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
117	112, 116	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ) -> ( F ` j ) <_ x )
118	117	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) -> ( F ` j ) <_ x ) )
119	111, 118	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x )
120	56	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( k = if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x ) )
121	120	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` y ) , (⌈ ` y ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
122	108, 119, 121	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
123	122	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
124	123	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
125	4	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z -> k e. RR )
126	125	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> k e. RR )
127		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x
128	18, 127	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
129		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
130	26	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) )
131		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) <_ x )
132	129, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) <_ x )
133	132	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> ( j e. Z -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
134	128, 133	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
135	134	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
136	8	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( y = k -> ( ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
137	136	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( y = k -> ( A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
138	137	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. RR /\ A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
139	126, 135, 138	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
140	139	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x -> E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
141	140	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x -> E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
142	124, 141	impbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
143	142	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
144	107, 143	anbi12d 747	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. RR A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) )
145	7, 144	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ⌈cceil 12592   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupre3uz  39968  limsupreuz  39969