Theorem limsupreuz 39969

Description: Given a function on the reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller or equal than the function, infinitely often; 2. there is a real number that is larger or equal than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupreuz.1	|- F/_ j F
limsupreuz.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
limsupreuz.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
limsupreuz.4	|- ( ph -> F : Z --> RR )

Assertion

Ref	Expression
limsupreuz	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, x   j, Z, k, x

Allowed substitution hints:   ph( x, j, k)   F( j)   M( x, j, k)

Proof of Theorem limsupreuz

Dummy variables i l y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ l F
2		limsupreuz.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		limsupreuz.3	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		limsupreuz.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> RR )
5	4	frexr 39604	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
6	1, 2, 3, 5	limsupre3uzlem 39967	. . 3 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) /\ E. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y ) ) )
7		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y <_ ( F ` l ) <-> x <_ ( F ` l ) ) )
8	7	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( E. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) <-> E. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) <-> A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` k ) )
11	10	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( E. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) <-> E. l e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` l ) ) )
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j x
13		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j <_
14		limsupreuz.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j F
15		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j l
16	14, 15	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( F ` l )
17	12, 13, 16	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j x <_ ( F ` l )
18		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ l x <_ ( F ` j )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = j -> ( F ` l ) = ( F ` j ) )
20	19	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = j -> ( x <_ ( F ` l ) <-> x <_ ( F ` j ) ) )
21	17, 18, 20	cbvrex 3168	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. l e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` l ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( E. l e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` l ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
23	11, 22	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( E. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
24	23	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
26	9, 25	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) )
27	26	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) <-> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) )
28		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( F ` l ) <_ y <-> ( F ` l ) <_ x ) )
29	28	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x ) )
30	29	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x ) )
31	10	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> A. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x ) )
32	16, 13, 12	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( F ` l ) <_ x
33		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ l ( F ` j ) <_ x
34	19	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = j -> ( ( F ` l ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) )
35	32, 33, 34	cbvral 3167	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( A. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
37	31, 36	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
38	37	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
40	30, 39	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
41	40	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
42	27, 41	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) /\ E. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
43	42	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) /\ E. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) )
44	6, 43	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) )
45		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ i ( F ` j ) <_ x
46		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j i
47	14, 46	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( F ` i )
48	47, 13, 12	nfbr 4699	. . . . . . . 8 |- F/ j ( F ` i ) <_ x
49		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( F ` j ) = ( F ` i ) )
50	49	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` i ) <_ x ) )
51	45, 48, 50	cbvral 3167	. . . . . . 7 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` i ) <_ x )
52	51	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. k e. Z A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` i ) <_ x )
53	52	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR E. k e. Z A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` i ) <_ x )
54	53	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR E. k e. Z A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` i ) <_ x ) )
55		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ i ph
56	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> F : Z --> RR )
57		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. Z )
58	56, 57	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( F ` i ) e. RR )
59	55, 2, 3, 58	uzub 39658	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` i ) <_ x <-> E. x e. RR A. i e. Z ( F ` i ) <_ x ) )
60		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i <-> i = j )
61	60	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( j = i -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` i ) <_ x ) ) <-> ( i = j -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` i ) <_ x ) ) )
62		bicom 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` i ) <_ x ) <-> ( ( F ` i ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) )
63	62	imbi2i 326	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = j -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` i ) <_ x ) ) <-> ( i = j -> ( ( F ` i ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) ) )
64	61, 63	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( j = i -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` i ) <_ x ) ) <-> ( i = j -> ( ( F ` i ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) ) )
65	50, 64	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( F ` i ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) )
66	48, 45, 65	cbvral 3167	. . . . . 6 |- ( A. i e. Z ( F ` i ) <_ x <-> A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )
67	66	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. x e. RR A. i e. Z ( F ` i ) <_ x <-> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )
68	67	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. i e. Z ( F ` i ) <_ x <-> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x ) )
69	54, 59, 68	3bitrd 294	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x ) )
70	69	anbi2d 740	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x ) ) )
71	44, 70	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupreuzmpt  39971  limsupgtlem  40009