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Theorem lincresunit3lem1 42268
Description: Lemma 1 for lincresunit3 42270. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b |- B = ( Base ` M )
lincresunit.r |- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e |- E = ( Base ` R )
lincresunit.u |- U = (Unit ` R )
lincresunit.0 |- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z |- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n |- N = ( invg ` R )
lincresunit.i |- I = ( invr ` R )
lincresunit.t |- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( F ` z ) ( .s ` M ) z ) )
Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   z, s
Allowed substitution hints:   B( z)   R( z, s)   S( z)   .x. ( z)   U( z)   E( z)   F( z)   G( z, s)   I( z)   M( z)   N( z)   X( z)   .0. ( z, s)   Z( z, s)
Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . . 6 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
21a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) ) )
3 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( s = z -> ( F ` s ) = ( F ` z ) )
43oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( s = z -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) )
54adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) /\ s = z ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) )
6 simpr3 1069 . . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> z e. ( S \ { X } ) )
7 ovexd 6680 . . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) e. _V )
82, 5, 6, 7fvmptd 6288 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( G ` z ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) )
98oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) = ( ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ( .s ` M ) z ) )
109oveq2d 6666 . 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ( .s ` M ) z ) ) )
11 simp2 1062 . . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. LMod )
1211adantr 481 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> M e. LMod )
13 lincresunit.r . . . . . 6 |- R = (Scalar ` M )
1413lmodfgrp 18872 . . . . 5 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
15143ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Grp )
16 lincresunit.e . . . . . 6 |- E = ( Base ` R )
17 lincresunit.u . . . . . 6 |- U = (Unit ` R )
1816, 17unitcl 18659 . . . . 5 |- ( ( F ` X ) e. U -> ( F ` X ) e. E )
19183ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( F ` X ) e. E )
20 lincresunit.n . . . . 5 |- N = ( invg ` R )
2116, 20grpinvcl 17467 . . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( F ` X ) e. E ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
2215, 19, 21syl2an 494 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
23 3simpa 1058 . . . . 5 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
2423anim2i 593 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) )
25 eldifi 3732 . . . . . 6 |- ( z e. ( S \ { X } ) -> z e. S )
26253ad2ant3 1084 . . . . 5 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> z e. S )
2726adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> z e. S )
28 lincresunit.b . . . . 5 |- B = ( Base ` M )
29 lincresunit.0 . . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
30 lincresunit.z . . . . 5 |- Z = ( 0g ` M )
31 lincresunit.i . . . . 5 |- I = ( invr ` R )
32 lincresunit.t . . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
3328, 13, 16, 17, 29, 30, 20, 31, 32, 1lincresunitlem2 42265 . . . 4 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ z e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) e. E )
3424, 27, 33syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) e. E )
35 elpwi 4168 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ~P B -> S C_ B )
3635sseld 3602 . . . . . . . 8 |- ( S e. ~P B -> ( z e. S -> z e. B ) )
3725, 36syl5com 31 . . . . . . 7 |- ( z e. ( S \ { X } ) -> ( S e. ~P B -> z e. B ) )
38373ad2ant3 1084 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( S e. ~P B -> z e. B ) )
3938com12 32 . . . . 5 |- ( S e. ~P B -> ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> z e. B ) )
40393ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> z e. B ) )
4140imp 445 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> z e. B )
42 eqid 2622 . . . . 5 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
4328, 13, 42, 16, 32lmodvsass 18888 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( N ` ( F ` X ) ) e. E /\ ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) e. E /\ z e. B ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) .x. ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ) ( .s ` M ) z ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ( .s ` M ) z ) ) )
4443eqcomd 2628 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( N ` ( F ` X ) ) e. E /\ ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) e. E /\ z e. B ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( ( N ` ( F ` X ) ) .x. ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ) ( .s ` M ) z ) )
4512, 22, 34, 41, 44syl13anc 1328 . 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( ( N ` ( F ` X ) ) .x. ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ) ( .s ` M ) z ) )
4613lmodring 18871 . . . . . 6 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
47463ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Ring )
4847adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> R e. Ring )
49 elmapi 7879 . . . . . . 7 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F : S --> E )
50 ffvelrn 6357 . . . . . . 7 |- ( ( F : S --> E /\ z e. S ) -> ( F ` z ) e. E )
5149, 25, 50syl2an 494 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( F ` z ) e. E )
52513adant2 1080 . . . . 5 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( F ` z ) e. E )
5352adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( F ` z ) e. E )
54 simp2 1062 . . . . 5 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( F ` X ) e. U )
5554adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( F ` X ) e. U )
5616, 17, 20, 31, 32invginvrid 42148 . . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( F ` z ) e. E /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) .x. ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ) = ( F ` z ) )
5748, 53, 55, 56syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) .x. ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ) = ( F ` z ) )
5857oveq1d 6665 . 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) .x. ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` z ) ) ) ( .s ` M ) z ) = ( ( F ` z ) ( .s ` M ) z ) )
5910, 45, 583eqtrd 2660 1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( F ` z ) ( .s ` M ) z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   Ringcrg 18547  Unitcui 18639   invrcinvr 18671   LModclmod 18863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-lmod 18865
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  42269
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