Theorem lincresunit3lem2 42269

Description: Lemma 2 for lincresunit3 42270. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	|- B = ( Base ` M )
lincresunit.r	|- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e	|- E = ( Base ` R )
lincresunit.u	|- U = (Unit ` R )
lincresunit.0	|- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z	|- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n	|- N = ( invg ` R )
lincresunit.i	|- I = ( invr ` R )
lincresunit.t	|- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g	|- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem2	|- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) )

Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   z, s, B   z, E   z, F   z, G   z, M   z, N   z, R   z, S   z, U   z, X   z, Z   .0. , s, z

Allowed substitution hints:   R( s)   .x. ( z)   G( s)   I( z)   Z( s)

Proof of Theorem lincresunit3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1065	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
2		lincresunit.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( Base ` R )
3		lincresunit.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = (Scalar ` M )
4	3	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
5	2, 4	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- E = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6	5	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( E ^m S ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m S )
7	6	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( F e. ( E ^m S ) <-> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m S ) )
8	7	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m S ) )
9	8	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m S ) )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m S ) )
11		difssd 3738	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( S \ { X } ) C_ S )
12		elmapssres 7882	. . . 4 |- ( ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m S ) /\ ( S \ { X } ) C_ S ) -> ( F |` ( S \ { X } ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F |` ( S \ { X } ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) )
14		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
15	14	ssdifssd 3748	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
16		difexg 4808	. . . . . . . 8 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
17		elpwg 4166	. . . . . . . 8 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
19	15, 18	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
20		lincresunit.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
21	20	pweqi 4162	. . . . . 6 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
22	19, 21	eleq2s 2719	. . . . 5 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
24	23	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
25		lincval 42198	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( F |` ( S \ { X } ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
26	1, 13, 24, 25	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
27		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
28		simplr1 1103	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> F e. ( E ^m S ) )
29		simplr2 1104	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( F ` X ) e. U )
30		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> z e. ( S \ { X } ) )
31		lincresunit.u	. . . . . . 7 |- U = (Unit ` R )
32		lincresunit.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
33		lincresunit.z	. . . . . . 7 |- Z = ( 0g ` M )
34		lincresunit.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` R )
35		lincresunit.i	. . . . . . 7 |- I = ( invr ` R )
36		lincresunit.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
37		lincresunit.g	. . . . . . 7 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
38	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit3lem1 42268	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ z e. ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( F ` z ) ( .s ` M ) z ) )
39	27, 28, 29, 30, 38	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( F ` z ) ( .s ` M ) z ) )
40		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( S \ { X } ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
42	41	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( F ` z ) = ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) )
43	42	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( F ` z ) ( .s ` M ) z ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) )
44	39, 43	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) )
45	44	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) )
46	45	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
47		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
48		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
49		difexg 4808	. . . . 5 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. _V )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
51	50	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
52	3	lmodfgrp 18872	. . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
53	52	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Grp )
54	53	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ F e. ( E ^m S ) ) -> R e. Grp )
55		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F : S --> E )
56		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : S --> E /\ X e. S ) -> ( F ` X ) e. E )
57	56	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> ( F : S --> E -> ( F ` X ) e. E ) )
58	57	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( F : S --> E -> ( F ` X ) e. E ) )
59	55, 58	syl5com 31	. . . . . 6 |- ( F e. ( E ^m S ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( F ` X ) e. E ) )
60	59	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ F e. ( E ^m S ) ) -> ( F ` X ) e. E )
61	2, 34	grpinvcl 17467	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ ( F ` X ) e. E ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
62	54, 60, 61	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ F e. ( E ^m S ) ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
63	62	3ad2antr1 1226	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
64	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> M e. LMod )
65	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit1 42266	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
66	65	3adantr3 1222	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
67		elmapi 7879	. . . . . 6 |- ( G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
68		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( S \ { X } ) --> E /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( G ` z ) e. E )
69	68	ex 450	. . . . . 6 |- ( G : ( S \ { X } ) --> E -> ( z e. ( S \ { X } ) -> ( G ` z ) e. E ) )
70	66, 67, 69	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( z e. ( S \ { X } ) -> ( G ` z ) e. E ) )
71	70	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( G ` z ) e. E )
72		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( S e. ~P B -> S C_ B )
73		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( S \ { X } ) -> z e. S )
74		ssel2 3598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ B /\ z e. S ) -> z e. B )
75	74	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( S C_ B -> z e. B ) )
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( S \ { X } ) -> ( S C_ B -> z e. B ) )
77	72, 76	syl5com 31	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P B -> ( z e. ( S \ { X } ) -> z e. B ) )
78	77	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( z e. ( S \ { X } ) -> z e. B ) )
79	78	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( z e. ( S \ { X } ) -> z e. B ) )
80	79	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> z e. B )
81	20, 3, 48, 2	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( G ` z ) e. E /\ z e. B ) -> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) e. B )
82	64, 71, 80, 81	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ z e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) e. B )
83		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. LMod )
84	83, 23	jca 554	. . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
85	84	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
86	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit2 42267	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
87	86, 32	syl6breq 4694	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp ( 0g ` R ) )
88	3, 2	scmfsupp 42159	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) /\ G finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
89	88, 33	syl6breqr 4695	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) /\ G finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) finSupp Z )
90	85, 66, 87, 89	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) finSupp Z )
91	20, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90	gsumvsmul 18927	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) )
92	26, 46, 91	3eqtr2rd 2663	1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  Unitcui 18639   invrcinvr 18671   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  lincresunit3  42270