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Theorem lincresunit3 42270
Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b |- B = ( Base ` M )
lincresunit.r |- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e |- E = ( Base ` R )
lincresunit.u |- U = (Unit ` R )
lincresunit.0 |- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z |- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n |- N = ( invg ` R )
lincresunit.i |- I = ( invr ` R )
lincresunit.t |- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )
Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   .0. , s   G, s   R, s   Z, s
Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1062 . . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. LMod )
213ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> M e. LMod )
3 simp1 1061 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
4 3simpa 1058 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
543ad2ant2 1083 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
63, 5jca 554 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) )
7 eldifi 3732 . . . . . . 7 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. S )
8 lincresunit.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
9 lincresunit.r . . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
10 lincresunit.e . . . . . . . 8 |- E = ( Base ` R )
11 lincresunit.u . . . . . . . 8 |- U = (Unit ` R )
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
13 lincresunit.z . . . . . . . 8 |- Z = ( 0g ` M )
14 lincresunit.n . . . . . . . 8 |- N = ( invg ` R )
15 lincresunit.i . . . . . . . 8 |- I = ( invr ` R )
16 lincresunit.t . . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
17 lincresunit.g . . . . . . . 8 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 42265 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ s e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
196, 7, 18syl2an 494 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
209fveq2i 6194 . . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
2110, 20eqtri 2644 . . . . . 6 |- E = ( Base ` (Scalar ` M ) )
2219, 21syl6eleq 2711 . . . . 5 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
2322, 17fmptd 6385 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
24 fvex 6201 . . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
25 difexg 4808 . . . . . . 7 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. _V )
26253ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
27263ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
28 elmapg 7870 . . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( S \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
2924, 27, 28sylancr 695 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
3023, 29mpbird 247 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) )
31 elpwi 4168 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
32 ssdifss 3741 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
3431, 33syl5com 31 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
3534impcom 446 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
36 difexg 4808 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
38 elpwg 4166 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
4035, 39mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
4140expcom 451 . . . . . . 7 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
428pweqi 4162 . . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
4341, 42eleq2s 2719 . . . . . 6 |- ( S e. ~P B -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
4443imp 445 . . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
45443adant2 1080 . . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
46453ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
47 lincval 42198 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
482, 30, 46, 47syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
49 simp1 1061 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> S e. ~P B )
50 simp3 1063 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. S )
511, 49, 503jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
5251adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
53 3simpb 1059 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
5453adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
55 eqidd 2623 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
56 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
57 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
588, 9, 10, 56, 57, 12lincdifsn 42213 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) /\ ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
5952, 54, 55, 58syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
6059eqeq1d 2624 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z <-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
61 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> ( G ` s ) = ( G ` z ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> s = z )
6361, 62oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = z -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) = ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
6463cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) )
6665oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
6766oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) )
688, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 42269 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) )
6967, 68eqtr2d 2657 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
7069oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
7170eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
72 lmodgrp 18870 . . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
73723ad2ant2 1083 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. Grp )
7473adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. Grp )
751adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
76 elmapi 7879 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F : S --> E )
77763ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> F : S --> E )
78 ffvelrn 6357 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : S --> E /\ X e. S ) -> ( F ` X ) e. E )
7977, 50, 78syl2anr 495 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. E )
80 elpwi 4168 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P B -> S C_ B )
8180sselda 3603 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> X e. B )
82813adant2 1080 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. B )
8382adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
848, 9, 56, 10lmodvscl 18880 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. E /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
8575, 79, 83, 84syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
869lmodfgrp 18872 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
87863ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Grp )
8887adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> R e. Grp )
8910, 14grpinvcl 17467 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ ( F ` X ) e. E ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
9088, 79, 89syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
91 lmodcmn 18911 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
92913ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. CMnd )
9392adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. CMnd )
9426adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
95 simpll2 1101 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> M e. LMod )
968, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 42266 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
97963adantr3 1222 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
98 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
10099ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( G ` s ) e. E )
101 ssel2 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S C_ B /\ s e. S ) -> s e. B )
102101expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. S -> ( S C_ B -> s e. B ) )
1037, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> ( S C_ B -> s e. B ) )
10480, 103syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. ~P B -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
1051043ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
107106imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> s e. B )
1088, 9, 56, 10lmodvscl 18880 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ ( G ` s ) e. E /\ s e. B ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
10995, 100, 107, 108syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
110 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) )
111109, 110fmptd 6385 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) : ( S \ { X } ) --> B )
112 ssdifss 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S C_ B -> ( S \ { X } ) C_ B )
11380, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) C_ B )
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ B )
115114, 8syl6sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
11625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
117116, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
118115, 117mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1191183adant2 1080 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1201, 119jca 554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
121120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
1228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 42267 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
123122, 12syl6breq 4694 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp ( 0g ` R ) )
1249, 10scmfsupp 42159 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) /\ G finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
125121, 97, 123, 124syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
126125, 13syl6breqr 4695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp Z )
1278, 13, 93, 94, 111, 126gsumcl 18316 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B )
1288, 9, 56, 10lmodvscl 18880 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( N ` ( F ` X ) ) e. E /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
12975, 90, 127, 128syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
130 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
1318, 57, 13, 130grpinvid2 17471 . . . . . . 7 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B /\ ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
13274, 85, 129, 131syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
1338, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79lmodvsneg 18907 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) )
134133eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ) )
135 simpr2 1068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. U )
1368, 9, 10, 11, 14, 56lincresunit3lem3 42263 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
137 eqcom 2629 . . . . . . . . . 10 |- ( X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
138136, 137syl6bb 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
13975, 83, 127, 135, 138syl31anc 1329 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
140139biimpd 219 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
141134, 140sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
142132, 141sylbird 250 . . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
14371, 142sylbid 230 . . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
14460, 143sylbid 230 . . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
1451443impia 1261 . 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
14648, 145eqtrd 2656 1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  CMndccmn 18193  Unitcui 18639   invrcinvr 18671   LModclmod 18863   linC clinc 42193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-lmod 18865  df-linc 42195
This theorem is referenced by:  lincreslvec3  42271
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