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Theorem lincresunit2 42267
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b |- B = ( Base ` M )
lincresunit.r |- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e |- E = ( Base ` R )
lincresunit.u |- U = (Unit ` R )
lincresunit.0 |- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z |- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n |- N = ( invg ` R )
lincresunit.i |- I = ( invr ` R )
lincresunit.t |- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   .0. , s
Allowed substitution hints:   R( s)   G( s)   Z( s)
Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4808 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. _V )
213ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
32adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
43adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
6 mptexg 6484 . . . . . . . . 9 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) ) e. _V )
75, 6syl5eqel 2705 . . . . . . . 8 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> G e. _V )
84, 7syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> G e. _V )
95funmpt2 5927 . . . . . . . 8 |- Fun G
109a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> Fun G )
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
12 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
1311, 12eqeltri 2697 . . . . . . . 8 |- .0. e. _V
1413a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> .0. e. _V )
15 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> F finSupp .0. )
1615fsuppimpd 8282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> ( F supp .0. ) e. Fin )
17 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
18 simpll 790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
19 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. S )
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> s e. S )
21 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( Base ` M )
22 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14 |- R = (Scalar ` M )
23 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( Base ` R )
24 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14 |- U = (Unit ` R )
25 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( 0g ` M )
26 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14 |- N = ( invg ` R )
27 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14 |- I = ( invr ` R )
28 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14 |- .x. = ( .r ` R )
2921, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 42265 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ s e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
3017, 18, 20, 29syl21anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
3130ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> A. s e. ( S \ { X } ) ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
325fnmpt 6020 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. s e. ( S \ { X } ) ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E -> G Fn ( S \ { X } ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> G Fn ( S \ { X } ) )
34 elmapfn 7880 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F Fn S )
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> F Fn S )
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> F Fn S )
3733, 36jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( G Fn ( S \ { X } ) /\ F Fn S ) )
38 difssd 3738 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( S \ { X } ) C_ S )
39 simpr1 1067 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> S e. ~P B )
4013a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> .0. e. _V )
4138, 39, 403jca 1242 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( ( S \ { X } ) C_ S /\ S e. ~P B /\ .0. e. _V ) )
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) ) )
43 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = x -> ( F ` s ) = ( F ` x ) )
4443oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = x -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) )
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) /\ s = x ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) )
46 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> x e. ( S \ { X } ) )
47 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
48 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
50 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( S \ { X } ) -> x e. S )
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> x e. S )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> x e. S )
5321, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 42265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ x e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) e. E )
5447, 49, 52, 53syl21anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) e. E )
5542, 45, 46, 54fvmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( G ` x ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) )
56 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) = .0. -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) )
5722lmodring 18871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
58573ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Ring )
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> R e. Ring )
6021, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem1 42264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) -> ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) e. E )
6160ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) e. E )
6223, 28, 11ringrz 18588 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) e. E ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) = .0. )
6359, 61, 62syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) = .0. )
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) = .0. )
6556, 64sylan9eqr 2678 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) = .0. )
6655, 65eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( G ` x ) = .0. )
6766ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) )
6867ralrimiva 2966 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> A. x e. ( S \ { X } ) ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) )
69 suppfnss 7320 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G Fn ( S \ { X } ) /\ F Fn S ) /\ ( ( S \ { X } ) C_ S /\ S e. ~P B /\ .0. e. _V ) ) -> ( A. x e. ( S \ { X } ) ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) )
7069imp 445 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G Fn ( S \ { X } ) /\ F Fn S ) /\ ( ( S \ { X } ) C_ S /\ S e. ~P B /\ .0. e. _V ) ) /\ A. x e. ( S \ { X } ) ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
7137, 41, 68, 70syl21anc 1325 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
7271adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
73 suppssfifsupp 8290 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. _V /\ Fun G /\ .0. e. _V ) /\ ( ( F supp .0. ) e. Fin /\ ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) ) -> G finSupp .0. )
748, 10, 14, 16, 72, 73syl32anc 1334 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> G finSupp .0. )
7574ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( F finSupp .0. -> G finSupp .0. ) )
7675ex 450 . . . 4 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( F finSupp .0. -> G finSupp .0. ) ) )
7776com23 86 . . 3 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( F finSupp .0. -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> G finSupp .0. ) ) )
78773impia 1261 . 2 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> G finSupp .0. ) )
7978impcom 446 1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   invgcminusg 17423   Ringcrg 18547  Unitcui 18639   invrcinvr 18671   LModclmod 18863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-lmod 18865
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  42269  lincresunit3  42270  isldepslvec2  42274
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