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Theorem lmodvsmdi 42163
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v |- V = ( Base ` W )
lmodvsmdi.f |- F = (Scalar ` W )
lmodvsmdi.s |- .x. = ( .s ` W )
lmodvsmdi.k |- K = ( Base ` F )
lmodvsmdi.p |- .^ = (.g ` W )
lmodvsmdi.e |- E = (.g ` F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) )
Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( x .^ X ) = ( 0 .^ X ) )
21oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( R .x. ( 0 .^ X ) ) )
3 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( x E R ) = ( 0 E R ) )
43oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( x E R ) .x. X ) = ( ( 0 E R ) .x. X ) )
52, 4eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) <-> ( R .x. ( 0 .^ X ) ) = ( ( 0 E R ) .x. X ) ) )
65imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) ) <-> ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( 0 .^ X ) ) = ( ( 0 E R ) .x. X ) ) ) )
7 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x .^ X ) = ( y .^ X ) )
87oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( R .x. ( y .^ X ) ) )
9 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x E R ) = ( y E R ) )
109oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x E R ) .x. X ) = ( ( y E R ) .x. X ) )
118, 10eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) <-> ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) ) )
1211imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) ) <-> ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) ) ) )
13 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ X ) = ( ( y + 1 ) .^ X ) )
1413oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) )
15 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x E R ) = ( ( y + 1 ) E R ) )
1615oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x E R ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) )
1714, 16eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) <-> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) ) )
1817imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) ) <-> ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) ) ) )
19 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x .^ X ) = ( N .^ X ) )
2019oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( R .x. ( N .^ X ) ) )
21 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x E R ) = ( N E R ) )
2221oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( ( x E R ) .x. X ) = ( ( N E R ) .x. X ) )
2320, 22eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) <-> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) ) )
2423imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( x .^ X ) ) = ( ( x E R ) .x. X ) ) <-> ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) ) ) )
25 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> X e. V )
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 |- V = ( Base ` W )
28 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 |- .^ = (.g ` W )
3027, 28, 29mulg0 17546 . . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> ( 0 .^ X ) = ( 0g ` W ) )
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ X ) = ( 0g ` W ) )
3231oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( 0 .^ X ) ) = ( R .x. ( 0g ` W ) ) )
33 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. K /\ X e. V ) -> R e. K )
3433anim1i 592 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R e. K /\ W e. LMod ) )
3534ancomd 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( W e. LMod /\ R e. K ) )
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 |- F = (Scalar ` W )
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .s ` W )
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
3936, 37, 38, 28lmodvs0 18897 . . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K ) -> ( R .x. ( 0g ` W ) ) = ( 0g ` W ) )
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( 0g ` W ) ) = ( 0g ` W ) )
4125anim1i 592 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( X e. V /\ W e. LMod ) )
4241ancomd 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( W e. LMod /\ X e. V ) )
43 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 18896 . . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
4633adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> R e. K )
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 |- E = (.g ` F )
4838, 43, 47mulg0 17546 . . . . . . . . . . 11 |- ( R e. K -> ( 0 E R ) = ( 0g ` F ) )
4948eqcomd 2628 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. K -> ( 0g ` F ) = ( 0 E R ) )
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0g ` F ) = ( 0 E R ) )
5150oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( ( 0 E R ) .x. X ) )
5240, 45, 513eqtr2d 2662 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( 0g ` W ) ) = ( ( 0 E R ) .x. X ) )
5332, 52eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( 0 .^ X ) ) = ( ( 0 E R ) .x. X ) )
54 lmodgrp 18870 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
55 grpmnd 17429 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. Grp -> W e. Mnd )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. LMod -> W e. Mnd )
5756ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. Mnd )
58 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> y e. NN0 )
5926adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> X e. V )
60 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6127, 29, 60mulgnn0p1 17552 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. V ) -> ( ( y + 1 ) .^ X ) = ( ( y .^ X ) ( +g ` W ) X ) )
6257, 58, 59, 61syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ X ) = ( ( y .^ X ) ( +g ` W ) X ) )
6362oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( R .x. ( ( y .^ X ) ( +g ` W ) X ) ) )
64 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> W e. LMod )
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. LMod )
66 simprll 802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> R e. K )
6727, 29mulgnn0cl 17558 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. V ) -> ( y .^ X ) e. V )
6857, 58, 59, 67syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( y .^ X ) e. V )
6927, 60, 36, 37, 38lmodvsdi 18886 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ ( y .^ X ) e. V /\ X e. V ) ) -> ( R .x. ( ( y .^ X ) ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. ( y .^ X ) ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) )
7065, 66, 68, 59, 69syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( R .x. ( ( y .^ X ) ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. ( y .^ X ) ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) )
7163, 70eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( ( R .x. ( y .^ X ) ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) )
72 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) -> ( ( R .x. ( y .^ X ) ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) = ( ( ( y E R ) .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) )
7371, 72sylan9eq 2676 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) ) -> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( ( ( y E R ) .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) )
7436lmodfgrp 18872 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
75 grpmnd 17429 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. Grp -> F e. Mnd )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. LMod -> F e. Mnd )
7776ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> F e. Mnd )
7838, 47mulgnn0cl 17558 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Mnd /\ y e. NN0 /\ R e. K ) -> ( y E R ) e. K )
7977, 58, 66, 78syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( y E R ) e. K )
80 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
8127, 60, 36, 37, 38, 80lmodvsdir 18887 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y E R ) e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( y E R ) ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( y E R ) .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) )
8265, 79, 66, 59, 81syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E R ) ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( y E R ) .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) )
8338, 47, 80mulgnn0p1 17552 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. Mnd /\ y e. NN0 /\ R e. K ) -> ( ( y + 1 ) E R ) = ( ( y E R ) ( +g ` F ) R ) )
8477, 58, 66, 83syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) E R ) = ( ( y E R ) ( +g ` F ) R ) )
8584eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y E R ) ( +g ` F ) R ) = ( ( y + 1 ) E R ) )
8685oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E R ) ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) )
8782, 86eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E R ) .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) )
8887adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) ) -> ( ( ( y E R ) .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) )
8973, 88eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) ) -> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) )
9089exp31 630 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) -> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) ) ) )
9190a2d 29 . . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( y .^ X ) ) = ( ( y E R ) .x. X ) ) -> ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( ( y + 1 ) .^ X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E R ) .x. X ) ) ) )
926, 12, 18, 24, 53, 91nn0ind 11472 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( R e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) ) )
9392exp4c 636 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( W e. LMod -> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) ) ) ) )
9493com12 32 . . 3 |- ( R e. K -> ( N e. NN0 -> ( X e. V -> ( W e. LMod -> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) ) ) ) )
95943imp 1256 . 2 |- ( ( R e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) -> ( W e. LMod -> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) ) )
9695impcom 446 1 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( R .x. ( N .^ X ) ) = ( ( N E R ) .x. X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  .gcmg 17540   LModclmod 18863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-lmod 18865
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