Theorem mulg0 17546

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	|- B = ( Base ` G )
mulg0.o	|- .0. = ( 0g ` G )
mulg0.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg0	|- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. 2 |- 0 e. ZZ
2		mulg0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6		mulg0.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		eqid 2622	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 17543	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
9		eqid 2622	. . . 4 |- 0 = 0
10	9	iftruei 4093	. . 3 |- if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) = .0.
11	8, 10	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = .0. )
12	1, 11	mpan 706	1 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   -ucneg 10267   NNcn 11020   ZZcz 11377   seqcseq 12801   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   invgcminusg 17423  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-neg 10269  df-z 11378  df-seq 12802  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  17552  mulgnn0subcl  17554  mulgneg  17560  mulgaddcom  17564  mulginvcom  17565  mulgnn0z  17567  mulgnn0dir  17571  mulgneg2  17575  mulgnn0ass  17578  mhmmulg  17583  submmulg  17586  odid  17957  oddvdsnn0  17963  oddvds  17966  odf1  17979  gexid  17996  mulgnn0di  18231  0cyg  18294  gsumconst  18334  srgmulgass  18531  srgpcomp  18532  srgbinomlem3  18542  srgbinomlem4  18543  srgbinom  18545  mulgass2  18601  lmodvsmmulgdi  18898  assamulgscmlem1  19348  mplcoe3  19466  mplcoe5  19468  mplbas2  19470  psrbagev1  19510  evlslem3  19514  evlslem1  19515  ply1scltm  19651  cnfldmulg  19778  cnfldexp  19779  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulgsum  20669  cpmadugsumlemF  20681  tmdmulg  21896  clmmulg  22901  dchrptlem2  24990  xrsmulgzz  29678  ressmulgnn0  29684  omndmul2  29712  omndmul  29714  archirng  29742  archirngz  29743  archiabllem1b  29746  archiabllem2c  29749  lmodvsmdi  42163