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Theorem lmodvsmmulgdi 18898
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v |- V = ( Base ` W )
lmodvsmmulgdi.f |- F = (Scalar ` W )
lmodvsmmulgdi.s |- .x. = ( .s ` W )
lmodvsmmulgdi.k |- K = ( Base ` F )
lmodvsmmulgdi.p |- .^ = (.g ` W )
lmodvsmmulgdi.e |- E = (.g ` F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( 0 .^ ( C .x. X ) ) )
2 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( x E C ) = ( 0 E C ) )
32oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
41, 3eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) )
54imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) ) )
6 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( y .^ ( C .x. X ) ) )
7 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x E C ) = ( y E C ) )
87oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( y E C ) .x. X ) )
96, 8eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) )
109imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) ) )
11 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) )
12 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x E C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
1312oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
1411, 13eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) )
1514imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
16 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( N .^ ( C .x. X ) ) )
17 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x E C ) = ( N E C ) )
1817oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
1916, 18eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
2019imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) )
21 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> W e. LMod )
22 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
2322adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> X e. V )
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` W )
27 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
28 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 18896 . . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
3021, 23, 29syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
31 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> C e. K )
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> C e. K )
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . . 10 |- E = (.g ` F )
3533, 27, 34mulg0 17546 . . . . . . . . 9 |- ( C e. K -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3632, 35syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3736oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0 E C ) .x. X ) = ( ( 0g ` F ) .x. X ) )
3824, 25, 26, 33lmodvscl 18880 . . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ C e. K /\ X e. V ) -> ( C .x. X ) e. V )
3921, 32, 23, 38syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( C .x. X ) e. V )
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . . 9 |- .^ = (.g ` W )
4124, 28, 40mulg0 17546 . . . . . . . 8 |- ( ( C .x. X ) e. V -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4239, 41syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4330, 37, 423eqtr4rd 2667 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
44 lmodgrp 18870 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
45 grpmnd 17429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Grp -> W e. Mnd )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> W e. Mnd )
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> W e. Mnd )
4847adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. Mnd )
49 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> y e. NN0 )
5039adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( C .x. X ) e. V )
51 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5224, 40, 51mulgnn0p1 17552 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( C .x. X ) e. V ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5348, 49, 50, 52syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
55 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5621adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. LMod )
5725lmodring 18871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
58 ringmnd 18556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. Ring -> F e. Mnd )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. LMod -> F e. Mnd )
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> F e. Mnd )
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> F e. Mnd )
62 simprll 802 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> C e. K )
6333, 34mulgnn0cl 17558 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Mnd /\ y e. NN0 /\ C e. K ) -> ( y E C ) e. K )
6461, 49, 62, 63syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( y E C ) e. K )
6523adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> X e. V )
66 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
6724, 51, 25, 26, 33, 66lmodvsdir 18887 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y E C ) e. K /\ C e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6856, 64, 62, 65, 67syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6933, 34, 66mulgnn0p1 17552 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. Mnd /\ y e. NN0 /\ C e. K ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
7061, 49, 62, 69syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
7170eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
7271oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7368, 72eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7455, 73sylan9eqr 2678 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7554, 74eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7675exp31 630 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
7776a2d 29 . . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
785, 10, 15, 20, 43, 77nn0ind 11472 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
7978exp4c 636 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( C e. K -> ( X e. V -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) ) )
8079com12 32 . . 3 |- ( C e. K -> ( N e. NN0 -> ( X e. V -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) ) )
81803imp 1256 . 2 |- ( ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
8281impcom 446 1 |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  .gcmg 17540   Ringcrg 18547   LModclmod 18863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-ring 18549  df-lmod 18865
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  20650
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