Theorem lsatcv0eq 34334

Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 29238 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0eq.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatcv0eq.p	|- .(+) = ( LSSum ` W )
lsatcv0eq.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatcv0eq.c	|- C = ( <oLL ` W )
lsatcv0eq.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lsatcv0eq.q	|- ( ph -> Q e. A )
lsatcv0eq.r	|- ( ph -> R e. A )

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0eq	|- ( ph -> ( { .0. } C ( Q .(+) R ) <-> Q = R ) )

Proof of Theorem lsatcv0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0eq.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
2		lsatcv0eq.a	. . . . . 6 |- A = (LSAtoms ` W )
3		lsatcv0eq.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LVec )
4		lsatcv0eq.q	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. A )
5		lsatcv0eq.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. A )
6	1, 2, 3, 4, 5	lsatnem0 34332	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
8		lsatcv0eq.p	. . . . . 6 |- .(+) = ( LSSum ` W )
9		lsatcv0eq.c	. . . . . 6 |- C = ( <oLL ` W )
10		lveclmod 19106	. . . . . . . 8 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
11	3, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
12	7, 2, 11, 4	lsatlssel 34284	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. ( LSubSp ` W ) )
13	7, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5	lcvp 34327	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q i^i R ) = { .0. } <-> Q C ( Q .(+) R ) ) )
14	1, 2, 9, 3, 4	lsatcv0 34318	. . . . . 6 |- ( ph -> { .0. } C Q )
15	14	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q C ( Q .(+) R ) <-> ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) )
16	6, 13, 15	3bitrd 294	. . . 4 |- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) )
17	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) -> W e. LVec )
18	1, 7	lsssn0 18948	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> { .0. } e. ( LSubSp ` W ) )
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { .0. } e. ( LSubSp ` W ) )
20	19	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) -> { .0. } e. ( LSubSp ` W ) )
21	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) -> Q e. ( LSubSp ` W ) )
22	7, 2, 11, 5	lsatlssel 34284	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. ( LSubSp ` W ) )
23	7, 8	lsmcl 19083	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ Q e. ( LSubSp ` W ) /\ R e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( Q .(+) R ) e. ( LSubSp ` W ) )
24	11, 12, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q .(+) R ) e. ( LSubSp ` W ) )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) -> ( Q .(+) R ) e. ( LSubSp ` W ) )
26		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) -> { .0. } C Q )
27		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) -> Q C ( Q .(+) R ) )
28	7, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27	lcvntr 34313	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) ) -> -. { .0. } C ( Q .(+) R ) )
29	28	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { .0. } C Q /\ Q C ( Q .(+) R ) ) -> -. { .0. } C ( Q .(+) R ) ) )
30	16, 29	sylbid 230	. . 3 |- ( ph -> ( Q =/= R -> -. { .0. } C ( Q .(+) R ) ) )
31	30	necon4ad 2813	. 2 |- ( ph -> ( { .0. } C ( Q .(+) R ) -> Q = R ) )
32	7	lsssssubg 18958	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( LSubSp ` W ) C_ (SubGrp ` W ) )
33	11, 32	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( LSubSp ` W ) C_ (SubGrp ` W ) )
34	33, 12	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. (SubGrp ` W ) )
35	8	lsmidm 18077	. . . . 5 |- ( Q e. (SubGrp ` W ) -> ( Q .(+) Q ) = Q )
36	34, 35	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( Q .(+) Q ) = Q )
37	14, 36	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C ( Q .(+) Q ) )
38		oveq2 6658	. . . 4 |- ( Q = R -> ( Q .(+) Q ) = ( Q .(+) R ) )
39	38	breq2d 4665	. . 3 |- ( Q = R -> ( { .0. } C ( Q .(+) Q ) <-> { .0. } C ( Q .(+) R ) ) )
40	37, 39	syl5ibcom 235	. 2 |- ( ph -> ( Q = R -> { .0. } C ( Q .(+) R ) ) )
41	31, 40	impbid 202	1 |- ( ph -> ( { .0. } C ( Q .(+) R ) <-> Q = R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LVecclvec 19102  LSAtomsclsa 34261   <oL_L clcv 34305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lcv 34306

This theorem is referenced by:  lsatcv1  34335